Mesures de risque · Essentiel · 8 min
VaR, Expected Shortfall et stress tests
Objectif: Calculer volatilité, downside risk, VaR et Expected Shortfall, et interpréter un stress test.
Avant de continuer
Il faut connaître la volatilité réalisée et la notion de distribution des rendements.
Vocabulaire
- Downside risk
- Une mesure de risque qui ne considère que les mouvements défavorables (pertes), contrairement à la volatilité qui traite hausses et baisses symétriquement.
- Stress test
- Une simulation de l'impact d'un scénario de marché extrême (souvent historique) sur un portefeuille, complémentaire aux mesures statistiques comme la VaR.
Intuition
La volatilité (M08-1) résume le risque en un seul chiffre symétrique, mais un investisseur se soucie surtout du risque de PERTE, pas de la variabilité en général. La VaR et l'Expected Shortfall répondent directement à la question "combien puis-je perdre, et à quel point ce serait grave ?", tandis qu'un stress test complète cette approche statistique par des scénarios concrets et extrêmes.
Définition
La Value at Risk (VaR) à un niveau de confiance donné (par exemple 95%) est la perte maximale attendue sur un horizon donné, avec cette probabilité — une VaR à 95% de 1M€ signifie qu'il y a 5% de chances de perdre plus de 1M€. L'Expected Shortfall (ES, ou CVaR) va plus loin : c'est la perte MOYENNE dans les scénarios où la VaR est dépassée, capturant l'ampleur des pertes extrêmes que la VaR seule ignore. Un stress test évalue l'impact d'un scénario historique spécifique (crise de 2008, krach de 1987) ou hypothétique sur le portefeuille actuel, sans faire d'hypothèse sur une distribution statistique.
Utilité
La VaR est la mesure de risque réglementaire la plus répandue dans l'industrie bancaire (bases du dispositif de Bâle, M13-reg-a) pour déterminer les fonds propres nécessaires ; l'Expected Shortfall, moins sensible aux limites de la VaR, est de plus en plus privilégiée par les régulateurs (notamment dans le cadre FRTB). Les stress tests complètent ces mesures statistiques en couvrant des scénarios extrêmes que l'historique récent pourrait ne pas capturer.
Exemple concret
Un portefeuille a une VaR à 99% sur 1 jour de 500 000 €, mais une Expected Shortfall de 900 000 € : cela signifie que dans le pire 1% des cas, la perte moyenne (900 000 €) est presque le double de la VaR elle-même — un signe que la distribution des pertes a une queue épaisse (fat tail), un risque que la VaR seule sous-estime largement. Un stress test répliquant la crise de 2008 sur ce même portefeuille pourrait révéler une perte de 2M€, bien au-delà de ce que suggèrent les mesures statistiques usuelles.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
La VaR, c'est comme dire "il y a 5% de chances qu'il pleuve plus de 20mm demain" — utile, mais ne dit rien sur combien il pleuvrait dans ce cas précis (5mm de plus ou une inondation ?). L'Expected Shortfall répond à cette question en calculant la pluviométrie MOYENNE dans tous les scénarios où il pleut plus de 20mm — une information bien plus riche sur l'ampleur du pire des cas.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Perte au niveau de confiance α (par exemple 95% ou 99%)
- — Perte moyenne conditionnelle au fait de dépasser la VaR — toujours supérieure ou égale à la VaR
Hypothèses: Calcul historique (sur données passées), paramétrique (hypothèse de distribution, souvent normale) ou par simulation Monte-Carlo (M06-7) ; chaque méthode a ses propres limites.
Unités: Perte dans la devise du portefeuille.
Exemple concret: VaR_95%=500K, ES_95%=900K : dans le pire 5% des cas, la perte moyenne est presque le double de la VaR elle-même.
Calcul détaillé
1) Choisir une méthode : historique (utiliser directement les rendements passés), paramétrique (supposer une distribution, ex. normale, et utiliser sa formule), ou Monte-Carlo (simuler de nombreux scénarios). 2) Choisir un niveau de confiance (95%, 99%) et un horizon (1 jour, 10 jours). 3) Calculer la VaR comme le quantile correspondant de la distribution des pertes. 4) Calculer l'Expected Shortfall comme la moyenne des pertes au-delà de ce quantile. 5) Compléter par des stress tests sur des scénarios historiques ou hypothétiques spécifiques.
Interprétation
Un écart important entre VaR et Expected Shortfall signale une distribution à queue épaisse (fat tail), un risque de pertes extrêmes disproportionnées par rapport à ce que la VaR seule suggère. Un stress test qui révèle une perte bien supérieure à la VaR statistique indique que l'historique récent (sur lequel la VaR est souvent calculée) ne capture pas suffisamment les scénarios extrêmes possibles.
Pièges
Croire que la VaR est la perte MAXIMALE possible : elle ne dit rien sur l'ampleur des pertes au-delà du seuil, d'où l'importance de l'Expected Shortfall. Autre piège classique : calculer la VaR uniquement sur une période calme récente, ce qui sous-estime systématiquement le risque réel — les stress tests basés sur des crises historiques passées sont un complément indispensable pour compenser ce biais.
Trois points à retenir
- 1La VaR est la perte maximale attendue à un niveau de confiance donné ; l'Expected Shortfall est la perte moyenne au-delà de ce seuil.
- 2L'Expected Shortfall capture mieux le risque de queue épaisse que la VaR seule.
- 3Les stress tests complètent les mesures statistiques par des scénarios historiques ou hypothétiques concrets.
Approfondir / démonstration
L'Expected Shortfall possède une propriété mathématique que la VaR n'a pas : la sous-additivité (ES d'un portefeuille combiné ≤ somme des ES individuels), une propriété essentielle de cohérence pour une mesure de risque, car elle garantit que la diversification (M13-gp-a) ne peut jamais augmenter le risque mesuré — la VaR, elle, peut dans certains cas exotiques violer cette propriété, un défaut théorique qui a motivé le passage progressif de la VaR vers l'Expected Shortfall dans la réglementation prudentielle (FRTB, M13-reg-a).