Mouvement brownien et Black-Scholes · Essentiel · 7 min
Construction du mouvement brownien
Objectif: Construire intuitivement le mouvement brownien, ses propriétés et sa simulation.
Vocabulaire
- Accroissement (increment)
- La variation W_t − W_s d'un processus entre deux instants s < t.
- Processus stochastique
- Une famille de variables aléatoires indexée par le temps, décrivant l'évolution incertaine d'une quantité.
Intuition
Le mouvement brownien modélise une trajectoire qui bouge sans cesse de façon imprévisible, sans jamais garder de mémoire de la direction qu'elle vient de prendre : à chaque instant, l'avenir est aussi incertain que si on repartait de zéro.
Définition
Un mouvement brownien standard (W_t) est un processus continu tel que W_0 = 0, ses accroissements sont indépendants et stationnaires, et pour tout s < t, W_t − W_s suit une loi normale de moyenne 0 et de variance (t − s). Ses trajectoires sont continues mais nulle part dérivables : "infiniment dentelées" à toute échelle.
Utilité
C'est la brique de base de toute la finance quantitative moderne : le modèle de Black-Scholes (M06-4), le lemme d'Itô (M06-3) et la simulation Monte-Carlo (M06-7) reposent tous directement sur le mouvement brownien pour modéliser l'incertitude des prix d'actifs dans le temps.
Exemple concret
Le grain de pollen observé par Robert Brown en 1827, ballotté sans cesse par les chocs des molécules d'eau environnantes, a donné son nom au phénomène. En finance, ce n'est pas le prix lui-même mais souvent son logarithme qui suit un mouvement brownien (avec dérive), pour garantir que le prix reste positif — voir M06-2. En simulant avec Δt=0,25 an (donc √Δt=0,5) et des tirages Z=0,50 ; −1,20 ; 0,80 ; −0,30, on obtient la trajectoire W_0=0, W_0,25=0+0,5×0,50=0,25, W_0,5=0,25+0,5×(−1,20)=−0,35, W_0,75=−0,35+0,5×0,80=0,05, W_1=0,05+0,5×(−0,30)=−0,10 : une trajectoire qui zigzague sans tendance, exactement le comportement attendu (espérance nulle à tout instant).
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Imaginez lancer une pièce toutes les millisecondes et avancer d'un pas minuscule à droite (pile) ou à gauche (face) : en accélérant ce jeu à l'infini (des pas de plus en plus petits, de plus en plus fréquents), la trajectoire cumulée converge vers un mouvement brownien. C'est une marche aléatoire poussée à sa limite continue.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Position du mouvement brownien à l'instant t
- — Le plus petit des deux instants s et t
Hypothèses: W_0 = 0 ; accroissements indépendants et stationnaires ; trajectoires continues presque sûrement.
Unités: W_t sans dimension (ou dans l'unité du processus modélisé) ; t en années ou fraction d'année.
Exemple concret: À t=1 an, W_1 suit une loi normale d'écart-type 1 ; à t=0,25 an, l'écart-type est √0,25 = 0,5.
Calcul détaillé
1) Pour simuler une trajectoire, discrétiser le temps en petits pas Δt (ici Δt=0,25, donc √Δt=0,5). 2) À chaque pas, tirer Z ~ N(0,1) (ici 0,50 ; −1,20 ; 0,80 ; −0,30). 3) Mettre à jour : W_{t+Δt} = W_t + √Δt × Z, ce qui donne successivement 0,25 ; −0,35 ; 0,05 ; −0,10. 4) Répéter pour construire la trajectoire complète — c'est l'algorithme de simulation le plus simple d'un mouvement brownien.
Interprétation
La variance croît linéairement avec le temps (Var = t), donc l'écart-type croît en √t : c'est pourquoi l'incertitude sur un horizon 4 fois plus long n'est multipliée que par 2, pas par 4 — une propriété qui structure toute la théorie de la volatilité (M08).
Pièges
Croire que le mouvement brownien peut être dérivé comme une fonction usuelle (calculer "dW_t/dt") : ses trajectoires sont nulle part dérivables, ce qui est justement la raison d'être du calcul stochastique et du lemme d'Itô (M06-3). Autre piège : confondre l'indépendance des accroissements avec l'indépendance des valeurs W_t elles-mêmes (qui sont, elles, fortement corrélées dans le temps).
Application métier
Tout desk quant qui price un produit exotique sans formule fermée (barrière, autocall, panier — voir M10 et M11) simule en pratique des milliers de trajectoires de mouvement brownien par Monte Carlo (M06-7) pour estimer son prix : la qualité de cette simulation, et donc du prix obtenu, repose directement sur la bonne implémentation de la discrétisation W_{t+Δt}=W_t+√Δt×Z vue ici.
Question d'entretien (en anglais)
Q.How would you simulate a Brownian motion path in code, and why does the square-root-of-time scaling matter?
Voir une réponse modèle
A.I'd discretize time into small steps of size Δt, and at each step draw a standard normal Z and update the path as W(t+Δt) = W(t) + sqrt(Δt) × Z, starting from W(0)=0. The square-root scaling matters because Brownian motion's variance grows linearly with time, so its standard deviation — the natural scale of a random step — grows with the square root of time, not with time itself. If you scaled the step by Δt instead of sqrt(Δt), you'd get the wrong variance and the simulated path wouldn't match the process you're trying to model. This same sqrt(Δt) scaling is also why volatility scales with the square root of time when you annualize it, and why Itô's lemma's second-order term doesn't vanish the way it would in ordinary calculus.
Trois points à retenir
- 1W_0 = 0, accroissements indépendants, W_t − W_s ~ N(0, t−s) : la définition complète d'un brownien standard.
- 2Trajectoires continues mais nulle part dérivables — d'où le besoin du calcul stochastique (Itô).
- 3L'écart-type croît en √t, pas en t : l'incertitude ralentit relativement avec l'horizon.
Approfondir / démonstration
Cette non-dérivabilité se justifie intuitivement : sur un petit intervalle Δt, l'accroissement typique est d'ordre √Δt (l'écart-type), donc le taux de variation (accroissement/Δt) est d'ordre 1/√Δt, qui diverge vers l'infini quand Δt → 0. C'est cette même échelle en √Δt qui explique pourquoi, dans le lemme d'Itô, le terme du second ordre (dW_t)² ne s'annule pas au premier ordre comme en calcul classique, mais se comporte comme dt — la clé de voûte de toute la construction qui mène à l'équation de Black-Scholes (M06-3, M06-4).