FRA et swaps de taux · Essentiel · 8 min
Pricing d'un swap : deux méthodes
Objectif: Pricer un swap par différence de jambes obligataires et par décomposition en FRA, avec conventions cohérentes.
Avant de continuer
Il faut connaître la structure d'un swap fixe/variable et savoir actualiser des flux avec des facteurs d'actualisation.
Vocabulaire
- Facteur d'actualisation (DF)
- Le coefficient DF_t = 1/(1+z_t)^t qui ramène un flux futur reçu en t à sa valeur d'aujourd'hui.
Intuition
Un swap se price de deux façons totalement équivalentes : soit en le voyant comme la différence entre deux obligations imaginaires (une à taux fixe, une à taux variable), soit en additionnant la valeur de chaque échange de flux futur comme une série de mini-forwards. Les deux méthodes donnent exactement le même prix.
Définition
Méthode 1 (différence de jambes obligataires) : la valeur du swap pour le receveur fixe est V = B_fixe − B_variable, où B_fixe est le prix d'une obligation à coupon R_fixe et B_variable le prix d'une obligation à taux variable (qui vaut toujours son nominal juste après chaque reset). Méthode 2 (décomposition en FRA) : V = Σ DF_t × Notionnel × (R_fixe − f_t) × δ_t, où f_t est le taux forward implicite de chaque période, chaque échange étant traité comme un FRA actualisé séparément.
Utilité
Pricer un swap est indispensable pour coter le taux au pair d'un nouveau swap, valoriser un swap existant en cours de vie (mark-to-market), et comprendre le lien profond entre marché obligataire et marché des swaps.
Exemple concret
Swap 2 ans, notionnel 1 000 000, coupons annuels. DF_1 = 0,97, DF_2 = 0,94. Le taux au pair R résout : R × (DF_1 + DF_2) + DF_2 = 1 (la jambe variable vaut toujours 1 au pair). R = (1 − DF_2)/(DF_1+DF_2) = (1−0,94)/(0,97+0,94) = 0,06/1,91 ≈ 3,14%.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
La clé de la méthode 1 est une propriété remarquable : une obligation à taux variable vaut TOUJOURS son nominal exactement après chaque reset (puisque son coupon s'ajuste immédiatement aux conditions de marché, comme un compte rémunéré au taux du jour). La jambe variable d'un swap se price donc "gratuitement" comme valant 1 (en proportion du nominal) : tout le travail de pricing se concentre alors sur la seule jambe fixe, comme une obligation classique.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Facteur d'actualisation à la date t
- — Facteur d'actualisation à la dernière échéance N
- — Fraction d'année de la période t
Hypothèses: Cadre mono-courbe simplifié (même courbe pour actualisation et projection, voir M04-4) ; notionnel normalisé à 1.
Unités: R_au_pair en proportion annuelle.
Exemple concret: DF1=0,97, DF2=0,94, δ=1 : R = (1−0,94)/(0,97+0,94) ≈ 3,14%.
Calcul détaillé
1) Construire la courbe des facteurs d'actualisation DF_t pour chaque date de flux. 2) Sommer Σ DF_t × δ_t (la valeur d'une "annuité" de 1 sur la durée du swap). 3) Calculer 1 − DF_N (la valeur de la jambe variable moins son remboursement final, qui se simplifie ainsi par construction). 4) Diviser pour obtenir le taux fixe au pair.
Interprétation
Le taux au pair d'un swap n'est ni le taux spot ni une moyenne simple des taux forward : c'est une moyenne pondérée par les facteurs d'actualisation de chaque période, ce qui le rapproche généralement (sans y être identique) du taux swap coté sur le marché pour cette même échéance.
Pièges
Oublier le "+DF_N" dans le calcul de la jambe variable (le remboursement final implicite du nominal), qui est ce qui rend la formule aussi simple. Autre piège : mélanger les deux méthodes sans cohérence de courbe — les deux doivent utiliser exactement les mêmes DF pour donner le même résultat.
Trois points à retenir
- 1Méthode 1 : V = B_fixe − B_variable, où B_variable vaut toujours 1 (au pair) juste après un reset.
- 2Méthode 2 : V = somme des FRA actualisés de chaque période, équivalente à la méthode 1.
- 3R_au_pair = (1 − DF_N) / Σ DF_t δ_t : une moyenne pondérée par les facteurs d'actualisation.
Approfondir / démonstration
L'équivalence des deux méthodes se démontre en substituant f_t = (DF_{t-1}/DF_t − 1)/δ_t (le taux forward implicite entre deux dates consécutives) dans la formule de la méthode 2, puis en développant la somme télescopique Σ DF_t × f_t × δ_t = Σ (DF_{t-1} − DF_t) = DF_0 − DF_N = 1 − DF_N (car DF_0=1) : on retombe exactement sur le numérateur de la méthode 1. Cette démonstration explique pourquoi le choix de la méthode est purement une question de commodité de calcul, jamais un choix qui affecterait le résultat — à condition d'utiliser la même courbe des DF dans les deux cas.