Mouvement brownien et Black-Scholes · Essentiel · 7 min
Formules de Black-Scholes pour call et put
Objectif: Appliquer les formules de pricing d'un call et d'un put avec un exemple numérique.
Avant de continuer
Il faut connaître l'équation de Black-Scholes et la loi normale centrée réduite N(x).
Vocabulaire
- Fonction de répartition normale N(x)
- La probabilité qu'une variable normale centrée réduite soit inférieure à x ; toujours comprise entre 0 et 1.
Intuition
Résoudre l'équation de Black-Scholes avec les bonnes conditions pour un call ou un put donne des formules fermées, calculables avec juste une calculatrice (et une table ou fonction N(x)) — pas besoin de résoudre une équation différentielle à chaque fois.
Définition
Pour un call européen : C = S0×N(d1) − K×e^{−rT}×N(d2). Pour un put européen : P = K×e^{−rT}×N(−d2) − S0×N(−d1). Avec d1 = [ln(S0/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T) et d2 = d1 − σ√T.
Utilité
Ces formules sont utilisées littéralement des milliards de fois par jour sur les marchés dérivés pour coter, valoriser et couvrir des options — la référence universelle malgré ses limites connues (voir M06-4).
Exemple concret
S0=100, K=100, r=3%, σ=20%, T=1. d1 = [ln(1) + (0,03+0,02)×1]/(0,20×1) = 0,05/0,20 = 0,25. d2 = 0,25 − 0,20 = 0,05. Avec N(0,25)≈0,5987 et N(0,05)≈0,5199 : C = 100×0,5987 − 100×e^{−0,03}×0,5199 ≈ 59,87 − 50,46 ≈ 9,41.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
On peut lire la formule du call comme : "la valeur actuelle probabiliste de ce qu'on reçoit (l'action, pondérée par N(d1), la probabilité risque-neutre ajustée d'être exercé) moins la valeur actuelle probabiliste de ce qu'on paie (le strike actualisé, pondéré par N(d2), la vraie probabilité risque-neutre d'exercice)". N(d1) et N(d2) sont proches mais subtilement différents, un point souvent source de confusion.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Prix spot actuel du sous-jacent
- — Prix d'exercice (strike)
- — Taux sans risque, volatilité, durée jusqu'à l'échéance
- — Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
Hypothèses: Option européenne, pas de dividende, hypothèses de Black-Scholes (M06-4).
Unités: C, P dans la devise du sous-jacent.
Exemple concret: S0=100, K=100, r=3%, σ=20%, T=1 : C ≈ 9,41 (voir exemple ci-dessus).
Calcul détaillé
1) Calculer d1 = [ln(S0/K) + (r+σ²/2)T] / (σ√T). 2) Calculer d2 = d1 − σ√T. 3) Lire ou calculer N(d1) et N(d2) (via table, fonction, ou approximation). 4) Assembler C = S0×N(d1) − K×e^{−rT}×N(d2). 5) Pour le put, utiliser N(−d1) et N(−d2) selon la formule symétrique, ou déduire P de C via la parité call-put (M05-3).
Interprétation
N(d1) s'interprète aussi comme le Delta du call (M07-1) : la sensibilité du prix de l'option à une petite variation de S0. N(d2), lui, est la vraie probabilité risque-neutre que l'option termine dans la monnaie (S_T > K) — une distinction technique mais importante entre les deux.
Pièges
Confondre d1 et d2, ou oublier le terme +σ²/2 (et non −σ²/2) dans d1 — un piège fréquent car le brownien géométrique (M06-2) utilise −σ²/2. Autre piège : utiliser un taux ou une volatilité en pourcentage brut ("20") au lieu de la proportion décimale ("0,20") dans la formule.
Trois points à retenir
- 1C = S0×N(d1) − K×e^{−rT}×N(d2), avec d1 = [ln(S0/K)+(r+σ²/2)T]/(σ√T) et d2 = d1 − σ√T.
- 2N(d1) = Delta du call ; N(d2) = vraie probabilité risque-neutre d'exercice.
- 3Le put se déduit soit par formule symétrique, soit via la parité call-put.
Approfondir / démonstration
On peut vérifier que ces formules satisfont exactement l'équation aux dérivées partielles de Black-Scholes (M06-4) avec la condition terminale V(S,T) = max(S−K,0) pour un call, en calculant explicitement ∂V/∂t, ∂V/∂S et ∂²V/∂S² et en substituant. On peut aussi vérifier que C et P ainsi définis satisfont exactement la parité call-put (M05-3) : C − P = S0×N(d1) − K e^{−rT}N(d2) − [Ke^{−rT}N(−d2) − S0N(−d1)] = S0[N(d1)+N(−d1)] − Ke^{−rT}[N(d2)+N(−d2)] = S0 − Ke^{−rT} (car N(x)+N(−x)=1 pour tout x) — une cohérence interne remarquable entre deux résultats obtenus par des voies complètement différentes (équation aux dérivées partielles vs argument de réplication statique).