Greeks et couverture dynamique · Essentiel · 7 min
Sensibilités du second ordre : Vanna, Volga/Vomma
Objectif: Identifier Vanna et Volga/Vomma et leurs usages, au-delà des Greeks de premier ordre.
Avant de continuer
Il faut connaître les Greeks de premier ordre, en particulier Delta et Vega.
Vocabulaire
- Volatilité implicite
- La volatilité qui, injectée dans Black-Scholes, redonne exactement le prix coté sur le marché — voir le smile de volatilité en M08.
Intuition
Les Greeks de premier ordre supposent que la volatilité elle-même ne bouge jamais. En réalité, elle varie constamment, et sa relation avec le prix du sous-jacent (le "smile") change aussi. Vanna et Volga capturent ces effets croisés, au-delà de ce que Delta, Gamma et Vega peuvent mesurer seuls.
Définition
Vanna = ∂²V/∂S∂σ mesure comment le Delta change quand la volatilité bouge (ou, de façon équivalente, comment le Vega change quand le sous-jacent bouge). Volga (ou Vomma) = ∂²V/∂σ² mesure comment le Vega lui-même change quand la volatilité bouge — la "convexité" du prix par rapport à la volatilité.
Utilité
Ces sensibilités de second ordre sont essentielles pour gérer un livre d'options complexe (produits structurés, options exotiques) où l'exposition à la FORME de la courbe de volatilité (le smile) compte autant que le niveau moyen de volatilité — au-delà de ce que le Vega seul peut capturer.
Exemple concret
Une position a un Vanna positif important : si la volatilité implicite grimpe (souvent lors d'une baisse de marché, phénomène connu), son Delta va changer de façon significative même sans que le sous-jacent bouge — un risque caché que le Delta et le Gamma seuls ne révèlent pas, mais que le Vanna quantifie précisément.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Si le Vega est "la sensibilité au niveau de l'eau" (la volatilité globale), le Vanna est "comment ce niveau d'eau affecte différemment les bateaux selon leur position" (comment la sensibilité au sous-jacent change avec la marée de volatilité), et le Volga est "comment le niveau d'eau lui-même devient plus ou moins volatil" — un effet de second ordre sur un effet de premier ordre, comme la convexité obligataire (M03-4) l'était pour la duration.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Les mêmes d1, d2 que dans la formule de Black-Scholes
- — Densité normale évaluée en d1
Hypothèses: Formule pour une option vanille sous Black-Scholes ; identique pour call et put (comme Gamma et Vega).
Unités: Unité de Delta par point de volatilité.
Exemple concret: d1=0,25, d2=0,05, σ=20% : Vanna = −0,3867×0,05/0,20 ≈ −0,097.
Calcul détaillé
1) Calculer d1, d2 comme dans Black-Scholes. 2) Calculer N'(d1). 3) Pour le Vanna : multiplier par −d2/σ. 4) Interpréter le signe : un Vanna négatif signifie que le Delta baisse quand la volatilité monte (typique d'un call ITM/ATM).
Interprétation
Un desk qui ne suit que Delta, Gamma, Vega et Theta peut se retrouver exposé sans le savoir à des mouvements combinés de spot et de volatilité (comme lors d'un krach, où les deux bougent ensemble) — c'est exactement ce risque que Vanna (et Volga pour la convexité vol-vol) permet d'identifier et de couvrir séparément.
Pièges
Ignorer ces Greeks de second ordre sur un portefeuille d'options à strikes ou échéances variés, en pensant que Delta/Gamma/Vega suffisent : c'est risqué dès que le portefeuille est exposé de façon non triviale à la forme du smile de volatilité. Autre piège : confondre Vanna (sensibilité croisée spot-vol) avec Volga (convexité pure en volatilité) — ce sont deux effets distincts.
Trois points à retenir
- 1Vanna = sensibilité croisée entre Delta et volatilité (ou Vega et spot) — ∂²V/∂S∂σ.
- 2Volga (Vomma) = convexité du prix par rapport à la volatilité elle-même — ∂²V/∂σ².
- 3Essentiels pour gérer un risque exposé à la forme du smile de volatilité, pas seulement à son niveau.
Approfondir / démonstration
Le Volga s'écrit Volga = Vega × d1×d2/σ, une formule qui montre que le Volga change de signe selon la position relative de d1 et d2 par rapport à zéro (c'est-à-dire selon que l'option est loin ou près de la monnaie). Ces sensibilités de second ordre sont au cœur des méthodes de couverture "vanna-volga", une technique de marché largement utilisée sur le marché des changes pour ajuster un prix Black-Scholes de base afin de refléter le coût de couverture du risque de smile, sans avoir à recalibrer un modèle de volatilité stochastique complet.