Greeks et couverture dynamique · Essentiel · 8 min
Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho
Objectif: Définir signes, unités et graphiques des Greeks de premier ordre pour un call et un put.
Avant de continuer
Il faut connaître les formules de Black-Scholes et l'interprétation de N(d1) comme Delta.
Vocabulaire
- Densité normale N'(x)
- La fonction de densité (la courbe en cloche) de la loi normale centrée réduite, N'(x) = e^{−x²/2}/√(2π).
Intuition
Les Greeks mesurent, un par un, à quel point le prix d'une option réagit à chaque ingrédient qui la compose : le prix du sous-jacent, la volatilité, le temps qui passe, le taux d'intérêt. Chaque Greek isole l'effet d'un seul de ces facteurs, toutes choses égales par ailleurs.
Définition
Delta = ∂V/∂S (sensibilité au sous-jacent). Gamma = ∂²V/∂S² (sensibilité du Delta au sous-jacent). Vega = ∂V/∂σ (sensibilité à la volatilité). Theta = ∂V/∂t (sensibilité au temps, généralement présentée comme −∂V/∂t, la perte de valeur par jour). Rho = ∂V/∂r (sensibilité au taux sans risque).
Utilité
Les Greeks sont le langage universel de tout desk d'options : ils permettent de décomposer et de couvrir chaque source de risque séparément, plutôt que de subir en bloc l'incertitude sur le prix de l'option.
Exemple concret
Un call a Delta=0,6, Gamma=0,02, Vega=25, Theta=−15 (par an), Rho=30. Si le sous-jacent monte de 1, le prix de l'option monte d'environ 0,6 (Delta) — et ce Delta lui-même montera d'environ 0,02 (Gamma) après ce mouvement. Si la volatilité monte de 1 point (1%), le prix monte d'environ 0,25 (Vega/100). Chaque jour qui passe, l'option perd environ 15/365 ≈ 0,04 de valeur, toutes choses égales par ailleurs (Theta).
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Pensez à une voiture : le Delta est la vitesse (comment la position change avec le temps), le Gamma est l'accélération (comment la vitesse elle-même change). Le Vega et le Rho sont comme la sensibilité du trajet à la météo (vol) et au prix du carburant (taux) — des facteurs externes qui influencent le voyage indépendamment de la vitesse ou de l'accélération.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Densité normale évaluée en d1 (identique pour call et put)
- — Prix spot, volatilité, durée jusqu'à l'échéance
Hypothèses: Gamma et Vega sont identiques pour un call et un put de mêmes caractéristiques (conséquence de la parité call-put) ; Delta et Rho diffèrent en revanche entre call et put.
Unités: Gamma en unité de Delta par unité de S ; Vega en unité de prix par point de volatilité (souvent divisé par 100).
Exemple concret: d1=0,25, S0=100, σ=20%, T=1 : N'(0,25)≈0,3867. Gamma ≈ 0,3867/(100×0,20×1) ≈ 0,0193. Vega ≈ 100×0,3867×1 ≈ 38,67.
Calcul détaillé
1) Calculer d1 comme dans Black-Scholes (M06-5). 2) Calculer la densité normale N'(d1) = e^(−d1²/2)/√(2π). 3) Pour Gamma : diviser par (S0 × σ × √T). 4) Pour Vega : multiplier N'(d1) par S0 et par √T.
Interprétation
Gamma et Vega sont toujours positifs pour une position longue sur une option (call ou put) : être acheteur d'options, c'est structurellement être "long Gamma" (profiter des mouvements) et "long Vega" (profiter d'une hausse de la volatilité). Le vendeur d'options est dans la situation symétrique inverse.
Pièges
Croire que le Delta d'un put est positif comme celui d'un call : le Delta d'un put est toujours négatif (entre −1 et 0), car sa valeur baisse quand le sous-jacent monte. Autre piège : oublier que le Theta est généralement négatif pour une position longue (l'option perd de la valeur temps chaque jour), sauf cas particuliers (certaines positions sur put profondément ITM sur taux élevés).
Trois points à retenir
- 1Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho mesurent chacun la sensibilité du prix à un facteur distinct.
- 2Gamma et Vega sont identiques pour un call et un put ; Delta et Rho diffèrent en signe/valeur.
- 3Être long une option = long Gamma et long Vega ; être court = l'inverse.
Approfondir / démonstration
Ces formules se dérivent en différentiant directement C = S0N(d1) − Ke^{−rT}N(d2) par rapport à chaque variable, en utilisant la relation remarquable S0N'(d1) = Ke^{−rT}N'(d2) (qui découle de d1−d2=σ√T et simplifie considérablement les calculs). Le Theta complet d'un call s'écrit Θ = −S0N'(d1)σ/(2√T) − rKe^{−rT}N(d2), et le Rho, Ρ = KTe^{−rT}N(d2) — des formules moins utilisées en calcul mental que Gamma/Vega mais indispensables pour un système de pricing complet.