Forwards, futures et matières premières · Essentiel · 6 min
Valeur d'un forward à la conclusion
Objectif: Distinguer prix forward de marché, prix de livraison contractuel et valeur du contrat existant.
Avant de continuer
Il faut déjà savoir ce qu'est un forward (position longue/courte, prix de livraison, payoff) avant d'aborder sa valeur en cours de vie.
Vocabulaire
- Actualiser
- Convertir une somme future en sa valeur équivalente aujourd'hui, en tenant compte du taux d'intérêt : 100€ dans un an valent moins de 100€ aujourd'hui.
- Absence d'arbitrage
- L'hypothèse qu'on ne peut pas gagner de l'argent sans risque et sans mise de fonds initiale — deux portefeuilles qui donnent le même résultat futur doivent avoir la même valeur aujourd'hui.
Intuition
Le prix de livraison est figé pour toute la vie du contrat, mais le prix forward de marché bouge : leur écart, actualisé, donne la valeur du contrat.
Définition
À un instant t, on distingue trois grandeurs : le prix forward de marché F(t) (le prix de livraison qui donnerait une valeur nulle à un nouveau contrat conclu maintenant), le prix de livraison K (fixé une fois pour toutes à la conclusion du contrat étudié) et la valeur V(t) de ce contrat déjà engagé, qui dépend de l'écart entre F(t) et K.
Utilité
Cette distinction sert à marquer au marché (mark-to-market) une position forward déjà en portefeuille, sans attendre l'échéance, et à comprendre pourquoi un contrat peut valoir plus ou moins que zéro après sa conclusion.
Exemple concret
Un exportateur conclut aujourd'hui (t = 0) un forward de vente d'EUR/USD à 3 mois, prix de livraison K = 1,0800 (égal au prix forward de marché F(0) à cette date : la valeur initiale est donc nulle, hors frais). Un mois plus tard, le prix forward de marché à 2 mois est passé à F(t) = 1,1000 : son contrat, lui, reste fixé à K = 1,0800. Sa position (vendeuse à terme) a perdu de la valeur car le marché est prêt à vendre plus cher que son prix contractuel.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Imaginez deux amis qui ont réservé le même modèle de voiture chez le même concessionnaire, livraison dans 2 mois : l'un a signé le contrat il y a 3 mois à 20 000 €, l'autre le signe aujourd'hui au prix actuel de 21 000 €. Le contrat du premier « vaut » maintenant 1 000 € de plus que celui du second (actualisés), même si personne n'a encore payé ni livré la voiture : c'est exactement la logique de V_t.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Valeur à l'instant t d'une position longue sur le forward
- — Prix forward de marché à t, pour livraison en T
- — Prix de livraison fixé à la conclusion du contrat
- — Taux sans risque annualisé, composition continue
- — Durée restante jusqu'à l'échéance, en années
Hypothèses: Absence d'arbitrage, absence de coûts de transaction, taux sans risque constant sur la période, pas de dividende ni de coût de portage (cas simple ; voir M02-2 pour l'extension).
Unités: V_t est exprimée dans la même devise/unité que le sous-jacent ; r est un taux annuel (ex. 0,03 pour 3 %) ; T−t est en années (ex. 0,25 pour 3 mois).
Exemple concret: Avec F_t = 1,1000, K = 1,0800, r = 2 % et T−t = 2/12 an : V_t = (1,1000 − 1,0800) × e^{−0,02 × 2/12} ≈ 0,0200 × 0,9967 ≈ 0,01993 par unité de sous-jacent.
Calcul détaillé
1) Identifier F_t, le prix forward de marché observé aujourd'hui pour la même échéance T. 2) Relever K, le prix de livraison inscrit dans le contrat existant (il ne change jamais). 3) Calculer l'écart (F_t − K) pour une position longue, ou (K − F_t) pour une position courte. 4) Actualiser cet écart au taux sans risque sur la durée restante T−t : V_t = (F_t − K) e^{−r(T−t)}. 5) À la conclusion (t = 0), si K a été fixé égal à F(0), alors V_0 = (F_0 − F_0) e^{-rT} = 0.
Interprétation
Un forward est un engagement ferme, pas une option : sa valeur peut devenir négative. Elle n'est nulle qu'au moment précis où K est fixé égal au prix forward de marché du jour ; ensuite, elle évolue avec F_t tout en gardant K figé.
Pièges
Confondre prix forward de marché (F_t, qui bouge) et prix de livraison (K, figé) est l'erreur la plus fréquente. Autre piège : croire qu'un forward vaut toujours zéro pendant toute sa vie — c'est vrai uniquement à l'instant de sa conclusion, hors frais.
Trois points à retenir
- 1Le prix de livraison K est fixé une fois pour toutes ; le prix forward de marché F(t) bouge en continu.
- 2La valeur du contrat existant est V_t = (F_t − K) e^(−r(T−t)) pour une position longue.
- 3V_0 = 0 seulement au moment où K est choisi égal au prix forward de marché du jour, hors frais.
Approfondir / démonstration
Démonstration par portefeuille de réplication : construisons un portefeuille A composé d'un forward long (livraison K, échéance T) et d'un placement sans risque de K × e^{−r(T−t)} unités monétaires jusqu'en T. À l'échéance, le placement vaut exactement K, qui sert à payer la livraison : le portefeuille A livre donc le sous-jacent au prix K, tout comme un forward conclu aujourd'hui au prix F_t accompagné d'un placement de F_t × e^{−r(T−t)}. Par absence d'arbitrage, ces deux portefeuilles doivent avoir la même valeur à l'instant t. Le second (conclu au prix de marché F_t) a une valeur nulle par définition du prix forward. On en déduit : V_t + K e^{−r(T−t)} = 0 + F_t e^{−r(T−t)}, soit V_t = (F_t − K) e^{−r(T−t)}. La démonstration symétrique pour une position courte donne V_t = (K − F_t) e^{−r(T−t)}.