Volatilité et variance · Essentiel · 8 min
Variance swap
Objectif: Définir le payoff d'un variance swap, son utilisation, sa réplication et son pricing.
Avant de continuer
Il faut connaître la volatilité réalisée et le principe du delta-hedging.
Vocabulaire
- Strike de variance
- Le niveau de variance fixé au contrat, déterminé pour que la valeur du variance swap soit nulle à la conclusion.
Intuition
Un variance swap permet de parier directement sur la volatilité future d'un actif, sans les complications du delta-hedging d'une option classique : à l'échéance, on échange simplement la différence entre la variance réellement réalisée et un niveau fixé à l'avance.
Définition
Un variance swap est un contrat dont le payoff à l'échéance est N_var × (σ²_réalisée − K²_var), où N_var est le notionnel de variance, σ²_réalisée la variance effectivement observée sur le sous-jacent pendant la vie du contrat, et K_var le "strike de variance" fixé à la conclusion (choisi pour que la valeur initiale du contrat soit nulle).
Utilité
Contrairement à une option delta-hedgée (dont le P&L dépend du chemin suivi par le sous-jacent, voir M07-5), le variance swap offre une exposition PURE à la volatilité réalisée, sans risque de Delta ni dépendance à la fréquence de rééquilibrage — l'instrument de référence pour parier explicitement sur la volatilité.
Exemple concret
Un investisseur achète un variance swap avec K_var=20% (donc K²_var=0,04), notionnel de variance N_var=100 000 par point de variance. Si la volatilité réalisée s'avère être 25% (σ²=0,0625), le payoff est 100 000×(0,0625−0,04) = 2 250. Si la volatilité réalisée n'est que de 15% (σ²=0,0225), le payoff est 100 000×(0,0225−0,04) = −1 750.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Le variance swap ressemble à un pari sur "le nombre total de secousses" pendant un trajet en voiture, plutôt qu'à un pari sur la direction finale du trajet : peu importe où la voiture termine (le niveau final du prix), seule l'ampleur cumulée des secousses (la variance réalisée) détermine le résultat du pari.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Notionnel de variance (montant par point de variance)
- — Variance annualisée réalisée sur le sous-jacent pendant la vie du contrat
- — Strike de variance (le carré du "niveau" de volatilité fixé au contrat)
Hypothèses: σ²_réalisée mesurée avec la même méthodologie (fréquence, convention) que celle spécifiée dans le contrat.
Unités: Payoff dans la devise du notionnel.
Exemple concret: N_var=100 000, K_var=20%, σ_réalisée=25% : Payoff = 100 000×(0,0625−0,04) = 2 250.
Calcul détaillé
1) Mesurer la variance réalisée σ²_réalisée sur la période (voir la méthode de M08-1, en travaillant en variance plutôt qu'en volatilité). 2) Calculer K²_var, le carré du strike de variance fixé au contrat. 3) Soustraire K²_var de σ²_réalisée. 4) Multiplier par le notionnel de variance N_var.
Interprétation
Le payoff étant fonction du CARRÉ de la volatilité (pas de la volatilité elle-même), un variance swap est structurellement plus sensible à de grands mouvements de volatilité qu'un simple pari linéaire — une propriété qui le rend particulièrement adapté pour se couvrir contre des chocs de volatilité extrêmes (krachs), mais aussi plus risqué à vendre.
Pièges
Confondre variance swap et volatility swap (un instrument différent, dont le payoff est linéaire en volatilité réalisée, pas en variance) — les deux existent sur le marché mais se pricent et se répliquent différemment. Autre piège : oublier que le payoff dépend du carré de σ, ce qui rend le variance swap disproportionnellement sensible aux queues de distribution (les mouvements extrêmes comptent beaucoup plus que ne le suggère une intuition linéaire).
Trois points à retenir
- 1Payoff = N_var × (σ²_réalisée − K²_var) : une exposition pure à la variance, sans risque de Delta.
- 2Contrairement à une option delta-hedgée, le P&L ne dépend pas du chemin ni de la fréquence de rééquilibrage.
- 3Le payoff en σ² (pas σ) rend l'instrument disproportionnellement sensible aux mouvements extrêmes.
Approfondir / démonstration
Le résultat remarquable qui rend le variance swap pricable et réplicable de façon robuste (indépendamment d'un modèle de volatilité particulier) est que la variance risque-neutre attendue peut s'écrire comme une intégrale sur un continuum d'options vanilles de tous les strikes, pondérées par 1/K² (le "log contract" de Neuberger/Carr-Madan) : K²_var ≈ (2/T)∫[0,∞] [P(K)/K² pour K<F0, C(K)/K² pour K>F0] dK. Cette formule de réplication statique, ne nécessitant qu'un portefeuille d'options de strikes échelonnés (pas de delta-hedging dynamique), est exactement ce qui permet aux banques de coter et de couvrir des variance swaps de façon fiable, indépendamment du modèle de volatilité sous-jacent utilisé.