Mouvement brownien et Black-Scholes · Essentiel · 7 min
Brownien arithmétique vs géométrique
Objectif: Comparer définitions, usages, différences et limites des mouvements browniens arithmétique et géométrique.
Avant de continuer
Il faut connaître les propriétés de base du mouvement brownien standard.
Vocabulaire
- Dérive (drift)
- La tendance moyenne, déterministe, autour de laquelle le processus fluctue de façon aléatoire.
Intuition
Un brownien standard seul ne suffit pas à modéliser un prix d'actif : il peut devenir négatif, et ses fluctuations en valeur absolue ne s'adaptent pas au niveau du prix. Deux variantes corrigent ces défauts, chacune pour un usage différent.
Définition
Le brownien arithmétique s'écrit dX_t = μ dt + σ dW_t : la dérive et la volatilité sont exprimées en valeur absolue, et X_t peut devenir négatif — adapté aux taux d'intérêt ou aux écarts de prix. Le brownien géométrique s'écrit dS_t = μ S_t dt + σ S_t dW_t : la dérive et la volatilité sont proportionnelles au niveau S_t, ce qui garantit S_t > 0 — le modèle standard pour un prix d'action.
Utilité
Le choix entre les deux détermine tout le comportement du modèle : le brownien géométrique est la fondation du modèle de Black-Scholes (M06-4) car il empêche mathématiquement un prix d'action de devenir négatif, une propriété indispensable.
Exemple concret
Un taux d'intérêt à 2% peut, dans un modèle simplifié, être représenté par un brownien arithmétique (il peut en théorie devenir légèrement négatif, comme observé sur certains marchés). Le cours d'une action à 100 EUR sera presque toujours modélisé par un brownien géométrique : une variation de 5% se traduit par ±5 EUR autour de 100, mais seulement ±2,50 EUR autour de 50 — la volatilité s'adapte au niveau.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Le brownien arithmétique ajoute ou retire un montant fixe en euros à chaque instant, quel que soit le niveau actuel — comme un compte qui gagne ou perd un nombre d'euros aléatoire chaque jour. Le brownien géométrique ajoute ou retire un POURCENTAGE du niveau actuel — comme un compte qui gagne ou perd un pourcentage aléatoire chaque jour, ce qui est beaucoup plus réaliste pour un actif financier (une action à 1000 EUR ne bouge pas du même nombre d'euros qu'une à 10 EUR pour le même "choc" de marché).
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Prix initial de l'actif
- — Taux de rendement moyen (drift) du brownien géométrique
- — Volatilité (écart-type des rendements)
Hypothèses: Solution explicite de l'équation différentielle stochastique dS_t = μS_t dt + σS_t dW_t, obtenue via le lemme d'Itô (M06-3).
Unités: S_t dans la même unité que S_0 ; μ, σ en proportion annuelle ; t en années.
Exemple concret: S0=100, μ=8%, σ=20%, t=1, W_1=0,3 : S_1 = 100×exp[(0,08−0,02)×1+0,20×0,3] = 100×exp(0,12) ≈ 112,75.
Calcul détaillé
1) Relever S0, μ, σ et t. 2) Calculer le terme de dérive ajustée : (μ − σ²/2) × t. 3) Tirer ou observer W_t. 4) Calculer l'exposant total : terme de dérive + σ×W_t. 5) S_t = S0 × exp(exposant).
Interprétation
Le terme −σ²/2 (la "correction d'Itô") signifie que le rendement moyen ARITHMÉTIQUE μ n'est pas directement le taux de croissance du prix : à cause de la variance, la croissance moyenne du LOGARITHME du prix est plus faible que μ. Cette correction, souvent contre-intuitive, est une conséquence directe du calcul d'Itô (M06-3).
Pièges
Oublier le terme −σ²/2 et croire que S_t = S0 × exp(μt + σW_t) : c'est une erreur très fréquente qui biaiserait systématiquement à la hausse toute simulation ou estimation. Autre piège : appliquer un brownien arithmétique à un prix d'action, ce qui autoriserait mathématiquement un prix négatif — non-sens économique.
Trois points à retenir
- 1Arithmétique : dX_t = μdt + σdW_t, peut devenir négatif, adapté aux taux/spreads.
- 2Géométrique : dS_t = μS_t dt + σS_t dW_t, reste positif, standard pour les prix d'actions.
- 3S_t = S0 × exp[(μ−σ²/2)t + σW_t] : ne pas oublier la correction d'Itô −σ²/2.
Approfondir / démonstration
La résolution de dS_t = μS_t dt + σS_t dW_t passe par le changement de variable Y_t = ln(S_t) et l'application du lemme d'Itô (M06-3) : dY_t = (1/S_t)dS_t − (1/2)(1/S_t²)(dS_t)², où (dS_t)² = σ²S_t²dt (règle d'Itô, voir M06-3). En substituant, dY_t = (μ − σ²/2)dt + σdW_t, un brownien arithmétique en Y_t = ln(S_t) qui s'intègre directement pour redonner la formule fermée de S_t. C'est cette dérivation qui explique pourquoi le brownien géométrique est "log-normal" : c'est son LOGARITHME qui suit un brownien arithmétique standard.