Obligations, taux et crédit · Essentiel · 7 min
Duration de Macaulay et duration modifiée
Objectif: Calculer et interpréter la duration de Macaulay et la duration modifiée d'une obligation.
Avant de continuer
Il faut déjà savoir comment on calcule le prix d'une obligation par actualisation des flux (coupons + remboursement), et ce qu'est un rendement actuariel.
Vocabulaire
- Rendement actuariel (yield)
- Le taux d'actualisation unique qui, appliqué à tous les flux futurs d'une obligation, redonne exactement son prix de marché actuel.
- Valeur actuelle (VA) d'un flux
- Ce que vaut aujourd'hui un paiement futur, une fois actualisé au taux du marché — plus le paiement est lointain, plus sa valeur actuelle est faible.
Intuition
Une obligation verse des flux fixes, déjà écrits dans le contrat. Si les taux du marché montent, ces flux fixes valent moins aujourd'hui (on les actualise plus fort) — donc le prix de l'obligation baisse. La duration mesure précisément à quel point ce prix réagit aux taux.
Définition
La duration de Macaulay est la moyenne des dates de paiement des flux d'une obligation, pondérée par la valeur actuelle de chaque flux (exprimée en années). La duration modifiée, dérivée de la précédente, donne directement la sensibilité relative du prix aux taux : une variation de taux Δy fait varier le prix d'environ −D_mod × Δy en pourcentage.
Utilité
Sert à répondre vite à la question « si les taux montent de tant, mon obligation perd combien de valeur ? » sans refaire tout le calcul d'actualisation à chaque fois — utile pour comparer des obligations ou piloter un risque de taux.
Exemple concret
Une obligation à 5 ans, coupon 4%, se traite à un rendement de 3%. Sa duration modifiée est d'environ 4,5. Si le rendement de marché passe de 3% à 4% (Δy = +1%), le prix baisse d'environ 4,5 × 1% = 4,5%.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Imaginez la duration comme un « délai moyen pondéré » pour récupérer votre mise : un coupon élevé ou une échéance courte rapproche ce délai (duration plus faible, obligation moins sensible aux taux) ; un coupon faible (voire zéro) ou une échéance longue l'éloigne (duration plus élevée, obligation plus sensible). Plus l'argent met de temps à revenir, plus une hausse de taux fait mal.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Duration de Macaulay : moyenne des dates de flux t, pondérée par le poids VA_t / P de chaque flux dans le prix
- — Valeur actuelle et montant du flux (coupon ou remboursement) payé à la date t
- — Prix de l'obligation = somme des VA_t de tous les flux
- — Duration modifiée = D_Macaulay / (1 + y/m)
- — Variation relative (en %) du prix de l'obligation
- — Variation du rendement de marché (en décimal, ex. 0,01 pour +1%)
- — Rendement actuariel et fréquence de coupon par an
Hypothèses: Approximation linéaire valable pour de petites variations de taux ; taux plat (même y pour tous les flux) ; ne capture pas la convexité (voir M03-4) pour de grandes variations.
Unités: D_mod s'exprime en années ; Δy est en décimal (pas en %) dans la formule.
Exemple concret: D_mod = 4,5 et Δy = +0,01 (soit +1%) : ΔP/P ≈ −4,5 × 0,01 = −4,5%.
Calcul détaillé
1) Lister tous les flux de l'obligation (coupons + remboursement) et leurs dates t. 2) Calculer la valeur actuelle (VA) de chaque flux au rendement actuel y. 3) Pondérer chaque date t par VA_t / Prix, et sommer : c'est la duration de Macaulay D_mac. 4) Diviser par (1 + y/m) pour obtenir la duration modifiée D_mod. 5) Appliquer ΔP/P ≈ −D_mod × Δy pour estimer l'effet d'une variation de taux.
Interprétation
Le signe moins est essentiel : prix et taux évoluent toujours en sens inverse pour une obligation à taux fixe. Plus la duration est grande, plus l'obligation est sensible : une obligation longue et à faible coupon (voire zéro-coupon) a une duration proche de sa maturité et réagit fortement ; une obligation courte à coupon élevé a une duration plus faible et réagit peu.
Pièges
Oublier le signe moins (une hausse de taux fait BAISSER le prix, jamais monter). Autre piège : utiliser Δy en pourcentage (« 1 ») au lieu de décimal (« 0,01 ») dans la formule, ce qui multiplie l'erreur par 100. Enfin, l'approximation devient imprécise pour de grandes variations de taux — c'est là que la convexité (M03-4) corrige l'estimation.
Trois points à retenir
- 1Quand les taux montent, le prix d'une obligation à taux fixe baisse — toujours, à cause de l'actualisation des flux fixes.
- 2La duration modifiée quantifie cette sensibilité : ΔP/P ≈ −D_mod × Δy.
- 3Plus la duration est grande (longue maturité, faible coupon), plus l'obligation est sensible aux taux.
Approfondir / démonstration
Démonstration : le prix P = Σ CF_t / (1+y/m)^(mt). En dérivant P par rapport à y : dP/dy = −(1/(1+y/m)) × Σ [t × CF_t / (1+y/m)^(mt)] = −(1/(1+y/m)) × D_mac × P (puisque D_mac = Σ[t × VA_t]/P). D'où dP/P/dy = −D_mac/(1+y/m) = −D_mod. C'est une élasticité au premier ordre (comme une dérivée), donc une approximation linéaire : localement précise, mais qui s'écarte de la vraie relation prix-taux (convexe, pas linéaire) quand Δy devient grand — d'où l'intérêt de la convexité en complément (M03-4).