Options barrières et digitales · Essentiel · 6 min
Réplication d'une digitale par spreads
Objectif: Répliquer une digitale par des spreads et connaître les limites près du strike/seuil.
Avant de continuer
Il faut connaître le payoff d'une digitale et celui d'un call spread.
Vocabulaire
- Call spread serré
- Un call spread dont les deux strikes sont très proches l'un de l'autre, utilisé pour approximer un payoff "tout ou rien".
Intuition
Un call spread très serré (deux strikes proches) ressemble, une fois normalisé, à un payoff "tout ou rien" : quasiment 0 en dessous des strikes, quasiment plein en dessus, avec une transition très abrupte entre les deux — exactement le comportement d'une digitale.
Définition
Une digitale cash-or-nothing de montant C et de strike K peut être approximée par un call spread : acheter C/ε calls de strike K−ε, vendre C/ε calls de strike K+ε, pour un petit ε. Quand ε→0, ce portefeuille converge vers le payoff exact de la digitale.
Utilité
Cette réplication permet de coter et de couvrir une digitale avec des instruments vanilles standards, sans avoir besoin d'un modèle ou d'un système de pricing dédié aux digitales — une technique répandue sur les desks qui ne disposent pas d'infrastructure spécifique pour ces produits.
Exemple concret
Une digitale cash-or-nothing, C=1000, K=100. Avec ε=2 : acheter 1000/(2×2)=250 calls K=98 (car le spread couvre 2ε=4 de largeur), vendre 250 calls K=102. Si le call K=98 vaut 12 et le call K=102 vaut 8 : coût = 250×(12−8) = 1000. Ce portefeuille paie environ 1000 si S_T dépasse 102, 0 si S_T est sous 98, et une valeur intermédiaire linéaire entre les deux — une approximation grossière avec ε=2, plus fine avec ε plus petit.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Imaginez vouloir dessiner une marche d'escalier parfaitement verticale, mais que votre crayon ne puisse tracer que des pentes : en rapprochant de plus en plus les deux extrémités de la pente, elle finit par ressembler visuellement à une vraie marche verticale, même si elle reste techniquement une pente très raide. C'est exactement ce que fait le call spread : approcher une discontinuité parfaite par une pente de plus en plus raide.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Prix Black-Scholes d'un call vanille de strike K−ε (acheté) ou K+ε (vendu)
- — Demi-largeur du spread, petite par rapport à K
Hypothèses: Approximation qui converge vers le prix exact de la digitale quand ε→0 ; l'erreur d'approximation est d'ordre ε² pour ε petit.
Unités: Prix dans la devise de C.
Exemple concret: C=1000, ε=2, C_BS(98)=12, C_BS(102)=8 : Digitale ≈ (1000/4)×(12−8) = 1000.
Calcul détaillé
1) Choisir un ε petit par rapport aux niveaux de prix en jeu. 2) Calculer le prix des deux calls vanilles de strikes K−ε et K+ε. 3) Calculer leur différence de prix. 4) Multiplier par C/(2ε) pour obtenir le prix approché de la digitale.
Interprétation
Réduire ε améliore la précision de l'approximation du PAYOFF (la transition devient plus abrupte, plus proche du "tout ou rien" exact), mais amplifie exactement le même problème de Delta/Gamma extrême rencontré pour les barrières (M10-2) : le portefeuille de réplication devient de plus en plus difficile à couvrir dynamiquement à mesure qu'il devient plus précis.
Pièges
Choisir un ε trop petit sans tenir compte du risque de couverture réel, ou un ε trop grand qui approxime mal le payoff exact de la digitale — le choix de ε est un compromis explicite entre précision de réplication et risque de couverture (voir M10-9). Autre piège : oublier de multiplier par le facteur d'échelle C/(2ε), qui n'est pas juste "1 call acheté, 1 call vendu".
Trois points à retenir
- 1Une digitale s'approxime par un call spread serré : acheter C/(2ε) calls K−ε, vendre C/(2ε) calls K+ε.
- 2Quand ε→0, l'approximation converge vers le payoff exact de la digitale.
- 3Réduire ε améliore la précision du payoff mais aggrave le risque de couverture (Delta/Gamma extrêmes).
Approfondir / démonstration
Cette réplication statique par call spread est en réalité un cas particulier de la formule générale de réplication de tout payoff par un portefeuille d'options vanilles (le "log contract" du variance swap, M08-5, en est un autre exemple) : n'importe quelle fonction de payoff f(S_T) suffisamment régulière peut se décomposer comme une combinaison de calls et puts de tous les strikes, pondérée par f''(K) — la digitale, avec sa discontinuité, correspond au cas limite où f'' devient une masse de Dirac concentrée exactement au strike K, ce qui explique intuitivement pourquoi seul un spread infiniment étroit (et non une combinaison lisse d'options) peut la répliquer exactement.