Mathématiques financières · Essentiel · 5 min
Intérêts simples, composés et capitalisation continue
Objectif: Calculer intérêts simples, intérêts composés et capitalisation continue.
Vocabulaire
- Capitalisation
- Le processus par lequel les intérêts déjà générés produisent eux-mêmes des intérêts lors des périodes suivantes.
Intuition
La différence entre intérêts simples et intérêts composés tient en une phrase : avec les intérêts composés, les intérêts d'hier génèrent eux-mêmes des intérêts aujourd'hui, ce qui crée une croissance accélérée (exponentielle) plutôt que linéaire au fil du temps.
Définition
Les intérêts simples se calculent uniquement sur le capital initial : Valeur = C₀ × (1 + r×t). Les intérêts composés se calculent sur le capital ET les intérêts déjà accumulés : Valeur = C₀ × (1+r)^t. Quand la fréquence de capitalisation devient infiniment fréquente (chaque instant), on parle de capitalisation continue : Valeur = C₀ × e^(rt), la limite mathématique du cas composé quand le nombre de périodes de capitalisation par an tend vers l'infini.
Utilité
Cette distinction est le fondement de toute la finance quantitative : le pricing d'obligations (M03), l'actualisation de flux futurs (M13-mathfin-b), et même les formules de Black-Scholes (M06) utilisent la capitalisation continue par convention, car elle simplifie considérablement le calcul différentiel sous-jacent aux modèles de pricing.
Exemple concret
Un capital de 1000 € placé à 5% par an pendant 10 ans : en intérêts simples, il vaut 1000×(1+0,05×10) = 1500 €. En intérêts composés annuels, il vaut 1000×(1,05)^10 ≈ 1628,89 €. En capitalisation continue, il vaut 1000×e^(0,05×10) ≈ 1648,72 € — l'écart entre les trois méthodes grandit avec le temps et le taux.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Les intérêts simples, c'est comme un jardinier qui récolte chaque année les fruits d'un seul arbre planté au départ, sans jamais replanter les graines. Les intérêts composés, c'est le même jardinier qui replante systématiquement chaque graine récoltée, faisant croître une forêt de plus en plus dense — la récolte totale finit par croître bien plus vite qu'avec un seul arbre.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Capital initial
- — Taux d'intérêt annuel continu
- — Durée en années
Hypothèses: Capitalisation continue ; pour une capitalisation discrète n fois par an, remplacer par C₀×(1+r/n)^(nt).
Unités: Même devise que C₀.
Exemple concret: C₀=1000, r=5%, t=10 : V = 1000×e^0,5 ≈ 1648,72.
Calcul détaillé
1) Identifier le capital initial, le taux et la durée. 2) Déterminer la convention de capitalisation (simple, composée discrète, ou continue) — ce choix change significativement le résultat sur longue durée. 3) Appliquer la formule correspondante. 4) Pour comparer deux taux à fréquences de capitalisation différentes, toujours les convertir d'abord dans la même convention (taux équivalent).
Interprétation
Plus l'horizon de temps est long, plus l'écart entre intérêts simples et composés devient important — c'est pourquoi la capitalisation composée est toujours utilisée pour des placements ou des dettes de long terme. Un taux annoncé "par an" doit toujours être interprété avec sa convention de capitalisation précisée, sous peine de comparer des taux non comparables.
Pièges
Comparer deux taux d'intérêt sans vérifier qu'ils utilisent la même convention de capitalisation (par exemple, un taux composé mensuellement n'est pas directement comparable à un taux composé annuellement, même si les deux affichent le même pourcentage nominal). Autre piège : utiliser des intérêts simples pour un horizon long, ce qui sous-estime fortement la croissance réelle d'un capital réinvesti.
Trois points à retenir
- 1Intérêts simples : croissance linéaire, calculée uniquement sur le capital initial.
- 2Intérêts composés : croissance exponentielle, les intérêts génèrent eux-mêmes des intérêts.
- 3La capitalisation continue (e^(rt)) est la limite mathématique utilisée par convention dans la plupart des modèles de pricing.
Approfondir / démonstration
La capitalisation continue se dérive comme la limite de la capitalisation discrète quand la fréquence n tend vers l'infini : lim_{n→∞} (1+r/n)^(nt) = e^(rt), un résultat classique d'analyse qui explique pourquoi cette convention, bien que jamais observée littéralement sur un marché réel (les intérêts ne sont jamais versés "à chaque instant"), reste le standard mathématique en finance quantitative — elle rend le taux d'intérêt directement compatible avec le calcul différentiel utilisé pour dériver des modèles comme Black-Scholes (M06-4).