Volatilité et variance · Essentiel · 8 min
Volatilité locale et volatilité stochastique
Objectif: Comparer principes, calibration, différences, usages et limites des modèles de vol locale et vol stochastique.
Avant de continuer
Il faut connaître la surface de volatilité et les limites du modèle de Black-Scholes à volatilité constante.
Vocabulaire
- Calibration
- Le processus qui consiste à choisir les paramètres d'un modèle pour qu'il reproduise exactement (ou au mieux) les prix observés sur le marché.
Intuition
Puisque Black-Scholes à volatilité constante ne peut pas expliquer le smile (M08-3), deux familles de modèles plus riches ont été développées pour y remédier — mais elles font des compromis très différents entre "coller parfaitement aux prix d'aujourd'hui" et "bien prédire comment ces prix évolueront demain".
Définition
La volatilité locale (modèle de Dupire) suppose que la volatilité est une fonction déterministe σ_loc(S,t) du niveau du sous-jacent et du temps, calibrée pour reproduire EXACTEMENT tous les prix d'options vanilles cotés sur le marché à un instant donné. La volatilité stochastique (ex. modèle de Heston) suppose que la volatilité elle-même suit son propre processus aléatoire, avec sa propre source d'incertitude, offrant un ajustement moins parfait aux prix actuels mais une dynamique de smile plus réaliste dans le temps.
Utilité
Le choix du modèle a un impact direct sur le pricing et la couverture des produits exotiques (M09-M11), dont la valeur dépend souvent de la façon dont le smile de volatilité évolue dans le temps, pas seulement de sa forme à l'instant présent.
Exemple concret
Une banque doit pricer une option exotique dont la valeur dépend fortement de la façon dont le smile va se déformer au fur et à mesure que le sous-jacent bouge (une option "forward start", par exemple). Un modèle de vol locale, bien qu'il colle parfaitement aux prix vanilles d'aujourd'hui, prédit un aplatissement du smile futur qui contredit systématiquement l'observation empirique — un modèle de vol stochastique (ou une combinaison des deux, "local-stochastique") donne une dynamique plus réaliste.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
La vol locale, c'est comme dessiner une carte météo qui explique parfaitement le temps qu'il a fait AUJOURD'HUI partout sur le territoire, mais qui suppose ensuite que ce temps évoluera de façon totalement déterministe (sans nouvel aléa). La vol stochastique, c'est accepter que la météo de demain comporte elle-même une part d'incertitude propre, en plus de celle déjà présente aujourd'hui — un modèle moins "parfait" sur l'instant, mais plus honnête sur le futur.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Prix de marché du call de strike K et échéance T (supposé connu en continu)
- — Dérivées du prix par rapport à l'échéance, au strike, et dérivée seconde au strike
Hypothèses: Formule de Dupire, valable si les prix C(K,T) sont connus (ou interpolés) pour tous K et T ; en pratique, dérive numériquement sur une surface interpolée.
Unités: σ²_loc en proportion annuelle au carré.
Exemple concret: Illustration simplifiée (taux r=0, grille grossière, PAS une calibration de marché réelle) : C(95,T=1)=8,5 ; C(100,T=1)=6,0 ; C(105,T=1)=4,0 ; C(100,T=1,1)=6,4. ∂_T C≈(6,4−6,0)/0,1=4,0. ∂_KK C≈(8,5−2×6,0+4,0)/5²=0,5/25=0,02. σ²_loc(100,1)≈4,0/(0,5×100²×0,02)=4,0/100=0,04, soit σ_loc=√0,04=20% — un résultat plausible, obtenu ici sur une grille grossière à but pédagogique ; une calibration réelle utilise une surface beaucoup plus dense.
Calcul détaillé
1) Construire (ou interpoler) une surface de prix d'options vanilles C(K,T) arbitrage-free (voir M08-3). 2) Calculer numériquement les dérivées ∂_T C, ∂_K C et ∂_KK C sur cette surface : par exemple ∂_T C≈4,0 et ∂_KK C≈0,02 sur notre grille illustrative. 3) Assembler selon la formule de Dupire pour obtenir σ²_loc(K,T) en chaque point : ici σ_loc(100,1)≈20%. 4) Utiliser cette fonction de volatilité locale pour pricer et couvrir des produits exotiques par Monte-Carlo (M06-7) ou différences finies.
Interprétation
Le modèle de vol locale est mathématiquement remarquable (une seule fonction déterministe suffit à répliquer tous les prix vanilles cotés), mais sa dynamique implicite du smile futur est connue pour être irréaliste (le smile s'aplatit trop vite). Le modèle de vol stochastique corrige ce défaut au prix d'une calibration plus difficile (plusieurs paramètres à ajuster, pas de formule fermée systématique) — un compromis fondamental entre fidélité statique et réalisme dynamique.
Pièges
Croire qu'un modèle de vol locale, parce qu'il colle parfaitement aux prix vanilles actuels, donne automatiquement une couverture fiable pour des produits exotiques : sa dynamique de smile erronée peut conduire à des erreurs de couverture significatives sur des produits sensibles à cette dynamique. Autre piège : penser que la vol stochastique élimine tout compromis — elle reste un modèle, avec ses propres limites et un risque de mauvaise calibration si les paramètres ne sont pas bien estimés.
Application métier
Un desk exotiques choisit le modèle utilisé pour pricer un produit spécifiquement en fonction de sa sensibilité à la dynamique du smile : un produit peu sensible à cette dynamique (barrière simple proche de l'échéance) peut être raisonnablement prické en vol locale, tandis qu'un produit fortement sensible (forward start, cliquet) exige un modèle de vol stochastique ou local-stochastique, sous peine d'une erreur de couverture significative et récurrente.
Question d'entretien (en anglais)
Q.A local volatility model perfectly reprices every vanilla option quoted in the market today. Does that mean it's the right model to use for pricing an exotic option?
Voir une réponse modèle
A.Not necessarily. Fitting today's vanilla prices exactly only tells you the model is consistent with the current static snapshot of the market — it says nothing about whether the model correctly predicts how the smile will evolve as time passes and the underlying moves, which is exactly what many exotic payoffs, like forward-start options, actually depend on. Local vol is known to predict a future smile that flattens unrealistically fast, which is a bad approximation of what markets actually do. A stochastic volatility model like Heston sacrifices a bit of that perfect fit to today's prices in exchange for much more realistic smile dynamics over time. So the right choice depends on how sensitive the specific exotic is to smile dynamics — for that, I'd lean stochastic or local-stochastic, not pure local vol, despite its perfect static fit.
Trois points à retenir
- 1Vol locale (Dupire) : fonction déterministe σ(S,t), colle exactement aux prix vanilles d'aujourd'hui.
- 2Vol stochastique (Heston...) : la volatilité a sa propre source d'aléa, dynamique de smile plus réaliste.
- 3Compromis fondamental : fidélité statique (vol locale) vs réalisme dynamique (vol stochastique).
Approfondir / démonstration
Les modèles "local-stochastiques" (LSV, combinant les deux approches) cherchent à obtenir le meilleur des deux mondes : une composante stochastique pour une dynamique réaliste, ajustée par une fonction de "leverage" locale pour retrouver un ajustement exact aux prix vanilles cotés — une approche aujourd'hui standard sur de nombreux desks exotiques. Le modèle de Heston lui-même suppose que la variance instantanée suit un processus de retour à la moyenne (mean-reverting, de type Cox-Ingersoll-Ross), ce qui produit naturellement une forme de smile réaliste avec des paramètres interprétables (vitesse de retour à la moyenne, volatilité de la volatilité, corrélation entre le sous-jacent et sa volatilité — cette dernière étant directement responsable de l'asymétrie du smile généré).