Volatilité et variance · Essentiel · 6 min
Volatilité implicite
Objectif: Extraire une volatilité implicite d'un prix et en connaître les propriétés.
Avant de continuer
Il faut connaître les formules de Black-Scholes et le Vega.
Vocabulaire
- Inversion de formule
- Trouver l'entrée (ici σ) qui produit une sortie donnée (le prix coté), plutôt que de calculer la sortie à partir d'une entrée connue.
Intuition
Plutôt que de partir d'une volatilité pour calculer un prix d'option (Black-Scholes classique), on peut faire l'inverse : partir du prix réellement coté sur le marché, et se demander quelle volatilité, une fois injectée dans Black-Scholes, redonnerait exactement ce prix.
Définition
La volatilité implicite σ_implicite est la valeur de σ qui, insérée dans la formule de Black-Scholes, égalise le prix théorique au prix de marché observé : C_BS(σ_implicite) = C_marché. Contrairement au prix, cette équation n'a pas de solution fermée et doit être résolue numériquement.
Utilité
La volatilité implicite est LE langage commun du marché des options : les traders cotent et discutent en volatilité implicite plutôt qu'en prix brut, car elle permet de comparer des options de strikes et échéances différents sur une même échelle.
Exemple concret
Un call cote 9,50 sur le marché, avec S0=100, K=100, r=3%, T=1. En essayant σ=18%, Black-Scholes donne un prix de 8,80 (trop bas). En essayant σ=20%, on obtient 9,41 (encore un peu bas). En essayant σ=21%, on obtient environ 9,60 (un peu haut). La volatilité implicite se situe donc entre 20% et 21%, à affiner par itérations successives.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
C'est comme deviner la température qui a produit un certain niveau de dilatation d'un thermomètre à mercure, en connaissant la relation physique entre température et dilatation, mais sans avoir mesuré la température directement : on ajuste une valeur d'essai jusqu'à ce que la dilatation prédite corresponde exactement à celle observée.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Estimation courante de la volatilité implicite, à l'itération n
- — Prix Black-Scholes calculé avec σ_n
- — Vega de l'option, évalué à σ_n
Hypothèses: Méthode de Newton-Raphson : converge rapidement (quadratiquement) si le point de départ est raisonnable et le Vega non nul.
Unités: σ en proportion annuelle.
Exemple concret: Voir l'exemple ci-dessus pour une illustration par tâtonnement plutôt que Newton-Raphson formel.
Calcul détaillé
1) Choisir une estimation initiale σ0 (ex. 20%, un niveau typique). 2) Calculer le prix Black-Scholes et le Vega à ce σ. 3) Calculer l'écart entre le prix théorique et le prix de marché. 4) Ajuster σ via la formule de Newton-Raphson. 5) Répéter jusqu'à ce que l'écart devienne négligeable.
Interprétation
La volatilité implicite n'est pas une prévision statistique de la volatilité future : c'est le prix de l'option lui-même, simplement exprimé dans une unité différente. Elle incorpore l'offre et la demande du marché, y compris une prime de risque que la volatilité réalisée future ne reflète pas nécessairement (voir M07-5).
Pièges
Confondre volatilité implicite et volatilité réalisée future : la première est un prix de marché aujourd'hui, la seconde une observation qui n'existera qu'après coup — les deux diffèrent systématiquement en moyenne (voir M07-5). Autre piège : croire que l'inversion se fait toujours facilement — un Vega proche de zéro (option très ITM/OTM, échéance très courte) rend la méthode de Newton-Raphson instable, nécessitant des méthodes plus robustes.
Trois points à retenir
- 1σ_implicite est la volatilité qui, dans Black-Scholes, redonne exactement le prix de marché — pas une prévision.
- 2Aucune formule fermée : on résout numériquement, typiquement par Newton-Raphson en utilisant le Vega.
- 3C'est le langage commun du marché des options, permettant de comparer des options de strikes/échéances différents.
Approfondir / démonstration
En pratique, les systèmes de production utilisent souvent une combinaison d'une bonne approximation initiale (l'approximation ATMF de M06-6 inversée donne un point de départ raisonnable : σ0 ≈ Prix/(0,4×S0×√T)) suivie de quelques itérations de Newton-Raphson, ou des méthodes de bissection plus lentes mais garanties de converger quand le Vega est trop faible pour Newton-Raphson. Le fait que la volatilité implicite varie systématiquement avec le strike et l'échéance (plutôt que d'être une constante unique, comme le suppose le modèle de Black-Scholes de base) est précisément ce qui motive l'étude du smile et de la surface de volatilité en M08-3.