Théorie moderne du portefeuille · Essentiel · 6 min
Covariance et diversification
Objectif: Relier covariance entre actifs et effet de diversification d'un portefeuille.
Avant de continuer
Il faut connaître la corrélation réalisée et son rôle dans la dispersion d'un panier.
Vocabulaire
- Covariance
- Une mesure de la façon dont deux actifs évoluent ensemble : positive s'ils montent et descendent en même temps, négative s'ils évoluent en sens opposé.
Intuition
Combiner plusieurs actifs dans un portefeuille réduit le risque global, mais l'ampleur de cette réduction dépend crucialement de la façon dont ces actifs évoluent les uns par rapport aux autres : combiner des actifs qui bougent ensemble (forte covariance) diversifie peu, combiner des actifs qui bougent indépendamment ou en sens opposé diversifie beaucoup.
Définition
La variance d'un portefeuille de deux actifs pondérés w₁ et w₂ est σ²_p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂Cov(1,2), où Cov(1,2) = ρ₁,₂×σ₁×σ₂ est la covariance entre les deux actifs, liée à leur corrélation ρ (déjà vue en M09-1 pour un contexte de produits dérivés). Le terme croisé 2w₁w₂Cov(1,2) est précisément le "bénéfice de diversification" : plus la covariance est faible (voire négative), plus ce terme réduit la variance totale du portefeuille par rapport à la simple moyenne pondérée des variances individuelles.
Utilité
Cette formule est le fondement mathématique de toute construction de portefeuille : elle explique pourquoi un gérant cherche activement des actifs peu corrélés entre eux, pas seulement des actifs individuellement peu risqués — un portefeuille de deux actifs très volatils mais peu corrélés peut être globalement moins risqué qu'un portefeuille de deux actifs peu volatils mais fortement corrélés.
Exemple concret
Deux actions, chacune avec une volatilité de 20%, pondérées à 50/50. Si leur corrélation est de 1 (parfaitement corrélées), la volatilité du portefeuille reste 20% (aucune diversification). Si leur corrélation est de 0 (indépendantes), la volatilité du portefeuille tombe à environ 14,1% (20%/√2). Si leur corrélation est de −1 (parfaitement opposées), la volatilité du portefeuille peut même tomber à 0% — un cas extrême illustrant la puissance théorique maximale de la diversification.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Porter deux parapluies identiques ne vous protège pas mieux d'un jour de pluie qu'un seul (ils "bougent ensemble", corrélation parfaite). Mais porter un parapluie ET une crème solaire vous protège contre deux scénarios opposés (pluie ou soleil) — c'est l'équivalent d'actifs négativement corrélés : chacun compense la faiblesse de l'autre selon les circonstances.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Corrélation entre les rendements des deux actifs, entre −1 et 1
- — Poids de chaque actif dans le portefeuille (w₁+w₂=1 sans effet de levier)
Hypothèses: Portefeuille à deux actifs ; se généralise à N actifs via une matrice de covariance complète (σ²_p = wᵀΣw).
Unités: Variance (carré de la volatilité).
Exemple concret: σ₁=σ₂=20%, w₁=w₂=0,5, ρ=0 : σ²_p = 0,25×0,04+0,25×0,04+0 = 0,02, donc σ_p≈14,1%.
Calcul détaillé
1) Estimer la volatilité individuelle de chaque actif (M08-1). 2) Estimer la corrélation entre chaque paire d'actifs (M09-1). 3) Construire la matrice de covariance complète (diagonale = variances, hors-diagonale = covariances). 4) Calculer la variance du portefeuille via σ²_p = wᵀΣw, où w est le vecteur des poids.
Interprétation
La volatilité du portefeuille est presque toujours inférieure à la moyenne pondérée des volatilités individuelles, sauf dans le cas extrême d'une corrélation parfaite (ρ=1). Cet écart, appelé bénéfice de diversification, est d'autant plus grand que le nombre d'actifs est élevé et que leurs corrélations moyennes sont faibles — mais ce bénéfice a des limites, car les corrélations entre classes d'actifs ont tendance à augmenter précisément pendant les crises de marché (quand la diversification serait la plus utile).
Pièges
Croire que diversifier signifie simplement "détenir plus d'actifs", sans tenir compte de leur corrélation réelle — détenir 50 actions du même secteur fortement corrélées entre elles diversifie beaucoup moins que détenir 5 actions de secteurs et zones géographiques différentes. Autre piège classique : supposer que les corrélations historiques resteront stables en période de crise, alors qu'elles ont tendance à converger vers 1 précisément quand la diversification serait le plus nécessaire.
Trois points à retenir
- 1La variance d'un portefeuille dépend des variances individuelles ET des covariances croisées entre actifs.
- 2Plus la corrélation moyenne entre actifs est faible, plus le bénéfice de diversification est important.
- 3Les corrélations tendent à augmenter en période de crise, réduisant le bénéfice de diversification quand on en a le plus besoin.
Approfondir / démonstration
Pour un portefeuille de N actifs également pondérés (w=1/N chacun) avec une variance individuelle moyenne σ̄² et une covariance moyenne C̄ᵥ entre paires, la variance du portefeuille converge, quand N devient grand, vers σ²_p ≈ C̄ᵥ (la variance individuelle moyenne s'efface en 1/N, mais la covariance moyenne persiste) — un résultat fondamental montrant que le risque "diversifiable" (spécifique à chaque actif) peut être quasiment éliminé en ajoutant des actifs, mais le risque "systématique" (capturé par la covariance moyenne) ne peut jamais être diversifié, quel que soit le nombre d'actifs détenus — un lien direct avec le CAPM (M13-gp-c) qui formalise cette distinction entre risque diversifiable et risque systématique.