FRA et swaps de taux · Essentiel · 8 min
Construction d'une courbe zéro-coupon
Objectif: Construire une courbe de taux zéro-coupon par bootstrap à partir d'instruments de marché (dépôts, futures, swaps OIS).
Avant de continuer
Il faut comprendre l'exposition future et la CVA, ainsi que la notion de taux sans risque, spot et forward, présentées dans les notions précédentes.
Vocabulaire
- Bootstrap
- La méthode consistant à déduire successivement les taux zéro-coupon de maturités croissantes à partir des prix d'instruments de marché observés, en utilisant à chaque étape les taux déjà déduits.
- Taux zéro-coupon
- Le taux d'actualisation applicable à un flux unique payé à une maturité donnée, sans aucun flux intermédiaire.
Intuition
On ne peut observer directement sur le marché qu'un nombre limité de taux zéro-coupon "purs" (sans flux intermédiaire), en particulier sur les maturités courtes. Pour les maturités plus longues, le marché ne cote que des instruments à flux multiples (obligations à coupon, swaps) : construire une courbe zéro-coupon complète consiste à "démêler" ces instruments composites pour en extraire, étape par étape, les taux purs sous-jacents à chaque maturité.
Définition
Le bootstrap est la méthode standard de construction d'une courbe de taux zéro-coupon : on part des instruments de marché les plus courts (dépôts monétaires), puis on utilise successivement des instruments de maturités croissantes (futures de taux courts, swaps), en déduisant à chaque étape le nouveau taux zéro-coupon à partir des taux déjà obtenus aux maturités antérieures et du prix de marché observé de l'instrument courant — d'où le nom "bootstrap", chaque étape s'appuyant sur les résultats de la précédente.
Utilité
Une courbe zéro-coupon complète est un outil fondamental de tout desk taux : elle sert à actualiser n'importe quel flux futur, quelle que soit sa maturité, pour pricer des obligations, des swaps, ou tout autre produit dérivé de taux. Sans une courbe correctement construite par bootstrap, il serait impossible d'obtenir des taux d'actualisation cohérents entre eux pour des maturités non directement cotées sur le marché.
Exemple concret
Le taux zéro-coupon à 1 an est observé directement sur un dépôt monétaire : 3,0%. Pour obtenir le taux zéro-coupon à 2 ans, on utilise un swap de taux à 2 ans coté sur le marché (taux fixe 3,2%) : connaissant déjà le taux zéro-coupon à 1 an, on résout l'équation qui égalise la valeur actualisée des flux du swap à zéro, ce qui permet d'isoler le taux zéro-coupon à 2 ans (par exemple 3,25%) — un calcul impossible à faire directement, puisque le swap à 2 ans comporte deux flux annuels, pas un seul.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Imaginez devoir reconstituer le prix unitaire de chaque brique d'un mur, alors que le vendeur ne facture que des "lots" de briques empilées (2 briques, puis 3, puis 5...). Connaissant déjà le prix du premier lot (une seule brique), on peut en déduire le prix de la deuxième brique à partir du prix du lot de 2, puis celui de la troisième à partir du lot de 3, et ainsi de suite : chaque étape s'appuie sur les briques déjà "prix-ées" à l'étape précédente. C'est exactement la logique du bootstrap appliquée aux taux.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Taux fixe (coupon) coté sur le marché pour l'instrument de maturité n
- — Facteur d'actualisation à la maturité i, déjà connu des étapes précédentes du bootstrap pour i < n
- — Facteur d'actualisation à la nouvelle maturité n, inconnue recherchée à cette étape
Hypothèses: Suppose un instrument au pair (valeur actuelle nette nulle à l'émission) et des paiements annuels simplifiés à but pédagogique ; en pratique les conventions de fréquence de paiement et de base de calcul des jours varient selon l'instrument et doivent être respectées avec précision.
Unités: DF_i sans unité (entre 0 et 1) ; le taux zéro-coupon associé s'en déduit ensuite par actualisation composée standard.
Exemple concret: DF_1 déjà connu=0,970. Swap 2 ans coté c=3,2% → DF_2=(1−0,032×0,970)/1,032≈0,939, d'où un taux zéro-coupon 2 ans≈3,25%.
Calcul détaillé
1) Extraire les taux zéro-coupon des maturités les plus courtes directement depuis les dépôts monétaires cotés (aucun calcul de bootstrap nécessaire, flux unique). 2) Pour chaque maturité suivante, utiliser l'instrument coté correspondant (future ou swap), résoudre l'équation de valeur actuelle nette nulle pour isoler le facteur d'actualisation inconnu, en utilisant les facteurs déjà obtenus aux maturités antérieures. 3) Répéter successivement jusqu'à la maturité maximale souhaitée, puis convertir chaque facteur d'actualisation en taux zéro-coupon.
Interprétation
Une courbe bootstrap bien construite doit être cohérente avec TOUS les prix de marché observés simultanément : si l'on reprice les instruments d'origine (dépôts, futures, swaps) avec la courbe zéro-coupon obtenue, on doit retrouver exactement leurs prix de marché cotés, à l'erreur numérique près. C'est le test de validation standard d'une construction de courbe.
Pièges
Mélanger des instruments de conventions différentes (bases de calcul de jours, fréquences de paiement) sans les harmoniser avant le bootstrap, ce qui produit une courbe incohérente. Autre piège fréquent : croire qu'une seule courbe zéro-coupon suffit pour tout pricer, alors qu'en pratique un cadre multi-courbe (actualisation via une courbe, projection des taux variables via une autre) est devenu la norme post-2008, comme vu dans la notion suivante.
Trois points à retenir
- 1Le bootstrap construit une courbe zéro-coupon complète à partir d'instruments de marché de maturités croissantes, chaque étape s'appuyant sur les précédentes.
- 2Les taux courts s'obtiennent directement (dépôts) ; les taux plus longs nécessitent de résoudre une équation de valeur actuelle nette nulle à chaque étape.
- 3Une courbe correctement construite doit exactement repricer tous les instruments de marché utilisés pour la construire.
Approfondir / démonstration
En pratique, le choix des instruments utilisés à chaque maturité (dépôts vs futures vs swaps) et les méthodes d'interpolation entre les points cotés sur le marché (linéaire, cubique, log-linéaire sur les facteurs d'actualisation) influencent sensiblement la forme de la courbe obtenue, en particulier sur les maturités intermédiaires non directement cotées — deux desks utilisant des méthodologies de bootstrap légèrement différentes peuvent obtenir des courbes très proches mais jamais rigoureusement identiques, ce qui explique pourquoi la méthodologie de construction de courbe est un sujet de gouvernance et de standardisation important sur un desk taux professionnel.