Corrélation, dispersion et paniers · Essentiel · 5 min
Corrélation réalisée
Objectif: Définir et calculer la corrélation réalisée, et en connaître les limites.
Avant de continuer
Il faut savoir calculer un rendement logarithmique et une volatilité réalisée.
Vocabulaire
- Covariance
- Une mesure de la tendance de deux variables à bouger ensemble (positive) ou en sens opposé (négative).
Intuition
La corrélation réalisée mesure, a posteriori, à quel point deux actifs ont effectivement bougé ensemble : proche de +1, ils montent et descendent en même temps ; proche de −1, l'un monte quand l'autre baisse ; proche de 0, leurs mouvements semblent indépendants.
Définition
La corrélation réalisée entre deux actifs est ρ = Cov(r1, r2) / (σ1 × σ2), où r1 et r2 sont leurs rendements logarithmiques sur une même période, Cov leur covariance et σ1, σ2 leurs volatilités (écarts-types) respectives. Elle est toujours comprise entre −1 et +1.
Utilité
La corrélation réalisée est la base de toute gestion de portefeuille diversifié (voir la théorie moderne du portefeuille) et de tout produit dérivé sur plusieurs actifs (paniers, Worst-Of/Best-Of, voir M09-4) : elle détermine si combiner plusieurs actifs réduit réellement le risque, ou non.
Exemple concret
Sur 4 jours, les rendements de l'actif A sont 1%, −0,5%, 0,8%, −0,3% (moyenne 0,25%) et ceux de l'actif B sont 0,9%, −0,4%, 0,6%, −0,2% (moyenne 0,225%). Écarts à la moyenne A : +0,75%, −0,75%, +0,55%, −0,55% ; écarts à la moyenne B : +0,675%, −0,625%, +0,375%, −0,425%. Covariance = moyenne des produits d'écarts ≈ 0,0000472 ; écart-type A ≈ 0,759% ; écart-type B ≈ 0,624%. ρ = Cov/(σ_A×σ_B) ≈ 0,0000472/(0,00759×0,00624) ≈ +0,996 : les deux actifs bougent presque parfaitement ensemble, typique de deux actions du même secteur.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Imaginez deux danseurs sur une piste : une corrélation de +1 signifie qu'ils exécutent exactement les mêmes pas en même temps ; une corrélation de −1 signifie que l'un recule exactement quand l'autre avance ; une corrélation de 0 signifie que leurs mouvements n'ont aucun rapport entre eux, chacun dansant "à sa façon" indépendamment de l'autre.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Rendements logarithmiques des deux actifs à la période i
- — Écarts-types (volatilités) des rendements de chaque actif
Hypothèses: Rendements mesurés sur la même fréquence et la même période pour les deux actifs.
Unités: Sans dimension, toujours entre −1 et +1.
Exemple concret: Rendements A: 1%, −0,5%, 0,8%, −0,3% ; rendements B: 0,9%, −0,4%, 0,6%, −0,2%. ρ≈+0,996 (voir le détail du calcul dans l'exemple ci-dessus et le calcul détaillé).
Calcul détaillé
1) Calculer les rendements logarithmiques des deux actifs sur des périodes identiques : A=1%,−0,5%,0,8%,−0,3% ; B=0,9%,−0,4%,0,6%,−0,2%. 2) Calculer la covariance de ces deux séries de rendements : moyenne des produits d'écarts aux moyennes respectives ≈0,0000472. 3) Calculer l'écart-type (volatilité) de chaque série séparément : σ_A≈0,759%, σ_B≈0,624%. 4) Diviser la covariance par le produit des deux écarts-types : ρ=0,0000472/(0,00759×0,00624)≈+0,996.
Interprétation
La corrélation réalisée n'est pas stable dans le temps : elle a tendance à augmenter fortement lors des phases de stress de marché ("tout baisse ensemble" lors d'un krach), ce qui réduit précisément le bénéfice de diversification au moment où on en aurait le plus besoin.
Pièges
Calculer une corrélation sur des séries de longueurs ou de fréquences différentes, ce qui fausse le résultat. Autre piège : extrapoler une corrélation calmement mesurée en période normale à une période de stress, sans tenir compte de cette instabilité bien documentée.
Application métier
Un desk de trading de dérivés multi-actifs recalcule quotidiennement les corrélations réalisées de ses paniers sous-jacents pour vérifier que ses positions de corrélation (produits Worst-Of, dispersion) restent conformes à ses limites de risque ; un gérant de portefeuille surveille de son côté la corrélation réalisée entre ses lignes pour détecter une érosion silencieuse de la diversification, en particulier en période de tension de marché.
Question d'entretien (en anglais)
Q.You have five years of daily returns for two stocks. Give me a quick, practical way to check whether they're actually diversifying a portfolio, without building a full covariance matrix model.
Voir une réponse modèle
A.I'd compute the realized correlation directly from the return series: log returns for both stocks over the same dates, their covariance, divide by the product of their standard deviations. A coefficient near +1 means they move together and offer little diversification benefit; near 0 or negative means they genuinely diversify. I'd also check stability over time by computing it on rolling windows, since realized correlation tends to spike toward +1 during market stress — exactly when diversification is needed most — so a single full-sample number can be misleading on its own.
Trois points à retenir
- 1ρ = Cov(r1,r2) / (σ1×σ2), toujours comprise entre −1 et +1.
- 2C'est une mesure rétrospective, pas une prévision — comme la volatilité réalisée.
- 3La corrélation réalisée tend à augmenter fortement en période de stress de marché.
Approfondir / démonstration
Pour un portefeuille de N actifs, la matrice de corrélation complète (N×N, symétrique, diagonale de 1) est nécessaire pour calculer précisément la variance du portefeuille — voir la théorie moderne du portefeuille (catégorie Gestion de portefeuille) pour la formule complète Var(portefeuille) = w'Σw, où Σ est la matrice de covariance. En pratique, cette matrice de corrélation historique est souvent instable statistiquement (bruit d'estimation important avec un nombre limité d'observations face à un grand nombre d'actifs), ce qui motive des techniques de régularisation (shrinkage) pour obtenir une estimation plus robuste.