FRA et swaps de taux · Essentiel · 6 min
Cadre mono-courbe vs multi-courbe
Objectif: Distinguer actualisation et projection en cadre pédagogique mono-courbe et en cadre multi-courbe.
Avant de continuer
Il faut savoir pricer un swap avec des facteurs d'actualisation et connaître la distinction taux sans risque / taux interbancaire.
Vocabulaire
- Courbe de projection
- La courbe utilisée pour estimer les taux forward futurs de la jambe variable (ex. courbe EURIBOR 3M).
- Courbe d'actualisation
- La courbe utilisée pour ramener chaque flux futur à sa valeur d'aujourd'hui (ex. courbe OIS, jugée plus proche du taux sans risque).
Intuition
Avant 2008, on utilisait une seule courbe de taux pour tout faire : estimer les taux variables futurs ET actualiser les flux. La crise financière a révélé que le taux interbancaire (EURIBOR) n'était plus vraiment sans risque, et qu'il fallait séparer les deux usages avec deux courbes différentes.
Définition
Le cadre mono-courbe (pédagogique, utilisé dans ce cours pour M04-2/M04-3) suppose qu'une seule courbe sert à la fois à projeter les taux forward variables et à actualiser tous les flux. Le cadre multi-courbe, utilisé en pratique, sépare une courbe de projection par indice de taux (ex. une par tenor EURIBOR : 1M, 3M, 6M) d'une courbe d'actualisation unique fondée sur un taux jugé plus proche du sans-risque (OIS, SOFR).
Utilité
Comprendre cette distinction est indispensable pour tout desk de taux moderne : ignorer le cadre multi-courbe conduit à des prix de swaps et de dérivés de taux systématiquement faux depuis la crise de 2008, l'écart entre courbes (le "basis") étant loin d'être négligeable en période de tension.
Exemple concret
Un swap notionnel 10 000 000 € verse dans 1 an un flux net de (EURIBOR 1 an projeté 3,2% − taux fixe 3%) × notionnel = 20 000 €. En cadre MONO-courbe (on actualise aussi avec 3,2%) : DF=1/1,032≈0,96899, valeur≈20 000×0,96899≈19 380 €. En cadre MULTI-courbe (on actualise avec le taux OIS 1 an, plus bas, 2,8%, jugé plus proche du sans-risque) : DF=1/1,028≈0,97276, valeur≈20 000×0,97276≈19 455 €. L'écart (≈75 € ici, sur UN SEUL flux à 1 an) semble faible, mais il se cumule sur chaque flux d'un swap à 10 ou 30 ans, et explose en période de stress : en 2008, le spread EURIBOR-OIS est monté à plus de 200 points de base (contre 40pb dans notre exemple), ce qui aurait rendu l'écart de valorisation totalement significatif.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Pensez à deux thermomètres différents pour deux usages différents : l'un mesure "à quel taux les banques se prêtent entre elles pour de vrai" (EURIBOR, utile pour projeter les futurs coupons variables d'un swap indexé dessus), l'autre mesure "le taux le plus proche du sans-risque disponible" (OIS, utile pour actualiser n'importe quel flux, quel que soit l'indice sur lequel il est calculé). Utiliser le mauvais thermomètre pour le mauvais usage donne une mesure biaisée.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Facteur d'actualisation issu de la courbe OIS (collatéral)
- — Taux forward projeté depuis la courbe EURIBOR pour la période t
Hypothèses: Suppose un swap collatéralisé en cash rémunéré au taux OIS (cas standard depuis les accords de collatéralisation post-crise).
Unités: V en unités monétaires ; taux en proportion annuelle.
Exemple concret: f=3,2% (EURIBOR 1 an projeté), R_fixe=3%, notionnel=10 000 000€ → flux net=20 000€. DF^OIS=1/1,028≈0,97276 → V_multi≈19 455€, contre V_mono≈19 380€ avec DF^EURIBOR=1/1,032≈0,96899 — un écart de ≈75€ sur ce seul flux.
Calcul détaillé
1) Calibrer séparément la courbe de projection (à partir d'instruments EURIBOR : dépôts, FRA, swaps EURIBOR) et la courbe d'actualisation (à partir d'instruments OIS). 2) Projeter chaque taux forward f_t depuis la courbe de projection appropriée au tenor de l'indice : ici f_1an=3,2%. 3) Actualiser chaque flux avec les DF de la courbe OIS, pas ceux de la courbe de projection : DF^OIS_1an=1/1,028≈0,97276. 4) Sommer pour obtenir la valeur du swap : 20 000€×0,97276≈19 455€, à comparer aux ≈19 380€ obtenus (à tort) en actualisant avec la courbe EURIBOR elle-même.
Interprétation
L'écart entre courbe de projection et courbe d'actualisation (le "basis") capture un risque de crédit et de liquidité implicite du marché interbancaire, distinct du risque de taux pur. Ignorer cet écart revient à prétendre que prêter à une banque non collatéralisée est aussi sûr que prêter au jour le jour avec collatéral — une hypothèse que le marché a rejetée depuis 2008.
Pièges
Utiliser la courbe de projection pour actualiser (ou l'inverse) : c'est l'erreur classique qui définissait encore le cadre mono-courbe avant 2008. Autre piège : oublier qu'il existe UNE courbe de projection PAR TENOR (1M, 3M, 6M ne sont pas interchangeables), car le basis entre tenors reflète lui aussi un risque de liquidité différent.
Application métier
Tout système de valorisation d'un desk taux (front-office comme risk management) doit être construit dès l'origine avec un cadre multi-courbe : un système hérité qui n'actualiserait qu'avec une seule courbe produirait un biais de prix systématique sur chaque swap, visible a posteriori dans un écart de P&L quotidien inexpliqué (voir M13, attribution du P&L) ou dans une divergence avec les appels de marge réellement exigés par la contrepartie ou la CCP.
Question d'entretien (en anglais)
Q.Why do banks discount a EURIBOR-indexed swap's cash flows using the OIS curve rather than the EURIBOR curve itself?
Voir une réponse modèle
A.Because discounting and projection answer two different questions. Projection asks 'what floating rate will actually be paid', which is exactly what the EURIBOR curve is built to forecast. Discounting asks 'what is the fair value today of a future flow', which requires a rate close to risk-free — and EURIBOR embeds unsecured interbank credit and liquidity risk that isn't truly risk-free, especially visible when the EURIBOR-OIS spread widened past 200 basis points in 2008. Since most swaps today are collateralized in cash remunerated at the OIS rate, OIS is also the rate that actually reflects the cost of funding that collateral, making it the economically correct discount rate. Using EURIBOR for both would systematically misprice the swap, with the error growing with maturity and with how wide the EURIBOR-OIS basis is at the time.
Trois points à retenir
- 1Mono-courbe (simplification pédagogique) : une seule courbe pour projeter et actualiser.
- 2Multi-courbe (pratique de marché) : une courbe de projection par tenor d'indice, une courbe OIS pour actualiser.
- 3L'écart entre les courbes (le basis) reflète un risque de crédit/liquidité interbancaire, révélé par la crise de 2008.
Approfondir / démonstration
La transition post-LIBOR (voir M03-7) complexifie encore ce cadre : les nouveaux taux de référence (SOFR, €STR) étant eux-mêmes des taux garantis au jour le jour, ils tendent à devenir à la fois la référence de projection ET d'actualisation pour les nouveaux swaps, réduisant partiellement (sans l'éliminer) le besoin de double courbe pour les produits les plus récents — tout en le conservant pleinement pour les produits encore indexés sur d'anciens taux IBOR résiduels ou sur des tenors multiples.