Options barrières et digitales · Essentiel · 6 min
Options digitales
Objectif: Décrire le mécanisme cash-or-nothing/asset-or-nothing, le payoff et les Greeks d'une digitale.
Avant de continuer
Il faut connaître les formules de Black-Scholes, en particulier l'interprétation de N(d2).
Vocabulaire
- Cash-or-nothing
- Une digitale qui verse un montant fixe en cash si la condition est remplie, rien sinon.
- Asset-or-nothing
- Une digitale qui verse la valeur du sous-jacent lui-même si la condition est remplie, rien sinon.
Intuition
Contrairement à une option vanille dont le payoff varie continûment avec le niveau final du sous-jacent, une option digitale a un payoff "tout ou rien" : un montant fixe si une condition est remplie à l'échéance, zéro sinon — c'est un pari binaire pur sur un seuil.
Définition
Une digitale cash-or-nothing call verse un montant fixe C si S_T > K à l'échéance, sinon rien. Son prix sous Black-Scholes est exactement C × e^{−rT} × N(d2), où N(d2) est la vraie probabilité risque-neutre que l'option termine dans la monnaie (déjà rencontrée en M06-5). Une digitale asset-or-nothing verse S_T (la valeur du sous-jacent lui-même) si S_T > K, son prix étant S0 × N(d1).
Utilité
Les digitales sont utilisées directement comme produits de trading (paris sur un seuil précis) et comme brique de construction cachée dans de nombreux produits structurés (un coupon conditionnel "tout ou rien" dans un autocall, par exemple, se comporte exactement comme une digitale, voir M11).
Exemple concret
Une digitale cash-or-nothing verse 1000 EUR si une action termine au-dessus de 100 dans 1 an. Avec S0=100, K=100, r=3%, σ=20%, on a déjà calculé (M06-5) d2≈0,05, N(d2)≈0,5199. Prix = 1000 × e^{−0,03} × 0,5199 ≈ 1000 × 0,9704 × 0,5199 ≈ 504,60.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Une digitale est un pari sportif simple : "est-ce que l'équipe A gagne, oui ou non ?", avec un gain fixe en cas de bonne réponse. Ce n'est pas un pari sur l'ampleur de la victoire (comme une option vanille le serait sur l'ampleur du mouvement de prix), juste sur le fait binaire de dépasser ou non un seuil précis.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Montant fixe versé si la condition est remplie
- — Probabilité risque-neutre que S_T > K à l'échéance
Hypothèses: Digitale de type call (paie si S_T>K) ; pour un put digital, remplacer N(d2) par N(−d2).
Unités: Prix dans la devise de C.
Exemple concret: C=1000, d2≈0,05, r=3%, T=1 : Prix ≈ 1000×0,9704×0,5199 ≈ 504,60.
Calcul détaillé
1) Calculer d1 et d2 comme pour Black-Scholes (M06-5). 2) Calculer N(d2), la probabilité risque-neutre d'exercice. 3) Multiplier par le montant fixe C. 4) Actualiser au taux sans risque sur la durée T.
Interprétation
Le prix d'une digitale se lit directement comme "la probabilité risque-neutre de succès, actualisée" — un lien beaucoup plus direct et intuitif avec la notion de probabilité qu'une option vanille, dont le prix mélange probabilité de succès ET ampleur attendue du gain.
Pièges
Confondre N(d1) et N(d2) : c'est bien N(d2) qui est la probabilité risque-neutre pertinente pour une digitale cash-or-nothing, pas N(d1) (qui reste le Delta d'un call vanille, M06-5). Autre piège : oublier d'actualiser le montant C au taux sans risque, ce qui surestime systématiquement le prix.
Trois points à retenir
- 1Cash-or-nothing : verse un montant fixe C si S_T>K, prix = C×e^{−rT}×N(d2).
- 2Asset-or-nothing : verse S_T lui-même si S_T>K, prix = S0×N(d1).
- 3N(d2) est directement la probabilité risque-neutre de succès — un lien probabiliste très direct.
Approfondir / démonstration
Un call vanille peut se décomposer exactement comme la différence entre une digitale asset-or-nothing et K fois une digitale cash-or-nothing : C_vanille = [Digitale asset-or-nothing] − K × [Digitale cash-or-nothing] = S0×N(d1) − K×e^{−rT}×N(d2), retrouvant exactement la formule de Black-Scholes (M06-5). Cette décomposition révèle que les digitales sont en réalité les "briques atomiques" à partir desquelles toute la formule de Black-Scholes se reconstruit — un aperçu du lien profond entre payoffs exotiques simples et pricing vanille.