Corrélation, dispersion et paniers · Essentiel · 6 min
Corrélation implicite
Objectif: Calculer une corrélation implicite sous hypothèses explicites et l'interpréter.
Avant de continuer
Il faut connaître la corrélation réalisée et la volatilité implicite.
Vocabulaire
- Corrélation moyenne implicite
- Une corrélation unique et simplifiée, supposée identique entre toutes les paires d'actifs d'un panier, qui reproduit le prix observé d'une option sur ce panier.
Intuition
De même que la volatilité implicite se déduit d'un prix d'option plutôt que d'être observée directement, la corrélation implicite se déduit de la comparaison entre le prix d'une option sur indice et les prix d'options sur ses composants — c'est ce que le marché "pense" de la corrélation future, pas une mesure statistique du passé.
Définition
Pour un indice composé de deux actifs de poids w1, w2, la variance de l'indice s'écrit σ²_indice = w1²σ1² + w2²σ2² + 2w1w2σ1σ2ρ. Connaissant σ_indice (extraite d'options sur indice) et σ1, σ2 (extraites d'options sur chaque composant), on peut résoudre cette équation pour ρ_implicite — la corrélation implicite entre les deux actifs.
Utilité
La corrélation implicite est directement tradable via des produits de dispersion (M09-3) et sert d'indicateur de stress de marché : elle grimpe généralement en période de panique (le marché anticipe que "tout va baisser ensemble"), un signal suivi de près par les gérants de risque.
Exemple concret
Un indice à deux actions, poids égaux (w1=w2=0,5), σ1=σ2=25% (égales pour simplifier), IV de l'indice=20%. σ²_indice = 0,04. 0,25²×0,5² + 0,25²×0,5² + 2×0,5×0,5×0,25×0,25×ρ = 0,04 → 0,03125 + 0,03125ρ = 0,04 → ρ ≈ 0,28. La corrélation implicite est d'environ 28%.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Un indice actions est structurellement "moins volatil que la moyenne de ses composants" grâce à la diversification — sauf si tous ses composants bougent exactement ensemble (corrélation=1), auquel cas la diversification ne joue plus du tout. En comparant l'écart réel entre la volatilité de l'indice et celle de ses composants, on peut donc déduire "à quel point le marché pense que les composants bougent ensemble" — c'est exactement la corrélation implicite.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Poids des deux actifs dans l'indice
- — Volatilités implicites des deux composants
- — Volatilité implicite de l'indice lui-même
Hypothèses: Cas simplifié à deux actifs ; le cas général à N actifs suppose souvent une corrélation moyenne identique entre toutes les paires, une simplification forte.
Unités: ρ_implicite sans dimension, entre −1 et +1 (en pratique souvent entre 0 et 1 pour des actions).
Exemple concret: Voir l'exemple ci-dessus : ρ_implicite ≈ 28%.
Calcul détaillé
1) Extraire la volatilité implicite de l'indice (M08-2) à partir d'options sur cet indice. 2) Extraire la volatilité implicite de chaque composant à partir d'options individuelles. 3) Substituer dans la formule de variance de l'indice. 4) Résoudre pour ρ (une simple équation du premier degré une fois les autres termes connus).
Interprétation
La corrélation implicite est structurellement plus élevée que la corrélation réalisée en moyenne (une "prime de corrélation", symétrique à la prime de volatilité vue en M07-5) : les vendeurs de protection contre la hausse de corrélation (essentiellement, les vendeurs d'options sur indice par rapport aux composants) exigent une compensation pour ce risque.
Pièges
Généraliser la formule à deux actifs sans adaptation à N actifs : la version générale nécessite une matrice de corrélation complète ou une hypothèse simplificatrice de corrélation moyenne unique, pas juste une extension mécanique de la formule à deux actifs. Autre piège : oublier que la corrélation implicite dépend de l'hypothèse de corrélation UNIFORME entre toutes les paires, une simplification qui peut être trompeuse si les corrélations réelles entre paires sont très hétérogènes.
Trois points à retenir
- 1La corrélation implicite se déduit en comparant la volatilité implicite d'un indice à celles de ses composants.
- 2σ²_indice = w1²σ1² + w2²σ2² + 2w1w2σ1σ2ρ_implicite (cas à deux actifs).
- 3La corrélation implicite est en moyenne plus élevée que la corrélation réalisée (une prime de corrélation).
Approfondir / démonstration
La généralisation à N actifs, sous l'hypothèse d'une corrélation moyenne ρ̄ identique entre toutes les paires et de poids/volatilités égaux, donne σ²_indice ≈ (1/N)σ̄² + ((N−1)/N)σ̄²ρ̄, qui montre que, même à corrélation nulle, l'indice conserve une volatilité résiduelle de σ̄/√N (le risque "non diversifiable" disparaît à mesure que N grandit, mais le risque systématique lié à ρ̄ persiste). C'est cette décomposition qui sépare formellement le risque idiosyncratique (diversifiable) du risque systématique (lié à la corrélation moyenne) — un concept directement lié au CAPM (voir la catégorie Gestion de portefeuille).