Mouvement brownien et Black-Scholes · Essentiel · 9 min
Modèle de Black-Scholes
Objectif: Présenter les hypothèses de Black-Scholes, une démonstration guidée et ses limites.
Avant de continuer
Il faut connaître le lemme d'Itô et l'idée de portefeuille de réplication déjà rencontrée pour la parité call-put.
Vocabulaire
- Portefeuille auto-financé
- Un portefeuille dont la valeur ne change qu'à cause des variations de prix des actifs qui le composent, sans apport ni retrait externe d'argent.
Intuition
L'idée géniale de Black et Scholes : à chaque instant, on peut répliquer exactement le comportement d'une option en détenant la bonne quantité d'actions et d'obligations, rééquilibrée en continu. Si cette réplication est parfaite, le prix de l'option est forcément le coût de cette réplication — sinon un arbitrage serait possible.
Définition
Le modèle de Black-Scholes établit que le prix V(S,t) de toute option européenne sur un actif suivant un brownien géométrique vérifie l'équation aux dérivées partielles : ∂V/∂t + rS∂V/∂S + ½σ²S²∂²V/∂S² − rV = 0, sous les hypothèses de volatilité et taux sans risque constants, marché sans friction, trading continu et absence de dividende.
Utilité
Cette équation, une fois résolue avec les bonnes conditions aux limites, donne les formules fermées de pricing d'un call et d'un put (M06-5) — le résultat le plus utilisé de toute la finance quantitative, qui a valu le prix Nobel d'économie à Scholes et Merton en 1997 (Black étant décédé en 1995).
Exemple concret
Considérons un portefeuille Π = V(S,t) − Δ×S, où Δ = ∂V/∂S : une position longue sur l'option et courte sur Δ actions. En choisissant Δ pour éliminer le risque instantané de S (delta-hedging, voir M07-4), la variation dΠ ne dépend plus de dW_t : le portefeuille devient localement sans risque, et doit donc rapporter exactement le taux sans risque r par unité de temps — c'est cette condition qui, une fois développée avec le lemme d'Itô, donne l'équation de Black-Scholes.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Imaginez un funambule qui ajuste en permanence son balancier pour rester en équilibre malgré le vent (les mouvements aléatoires du sous-jacent). Le "bon" delta est exactement le réglage du balancier qui annule l'effet du vent à chaque instant. Si ce réglage existe et fonctionne parfaitement (marché sans friction, trading continu), alors la seule façon cohérente de pricer l'option est de calculer le coût de ce funambulisme permanent.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Prix de l'option, fonction du sous-jacent S et du temps t
- — Taux sans risque (constant)
- — Volatilité du sous-jacent (constante)
Hypothèses: Trading continu, pas de coûts de transaction, taux et volatilité constants, pas de dividende, ventes à découvert autorisées, S suit un brownien géométrique.
Unités: V dans la devise du sous-jacent ; r, σ en proportion annuelle.
Exemple concret: Cette équation ne se résout pas "à la main" avec un exemple numérique direct : sa résolution complète (avec conditions aux limites d'un call/put) est donnée en M06-5.
Calcul détaillé
1) Construire le portefeuille Π = V − ΔS avec Δ = ∂V/∂S (delta-hedging). 2) Appliquer le lemme d'Itô à V(S,t) pour obtenir dV. 3) Calculer dΠ = dV − ΔdS, et constater que le terme en dW_t s'annule grâce au choix de Δ. 4) Écrire que dΠ = rΠdt (absence d'arbitrage, portefeuille sans risque). 5) Réarranger pour obtenir l'équation aux dérivées partielles de Black-Scholes.
Interprétation
Remarquablement, l'équation ne contient PAS le drift μ du sous-jacent : seul le taux sans risque r intervient. C'est exactement le résultat de la mesure risque-neutre (M06-3) — l'appétit pour le risque des investisseurs, reflété dans μ, ne joue aucun rôle dans le prix d'une option, une fois le delta-hedging effectué.
Pièges
Croire que le prix d'une option dépend du rendement attendu du sous-jacent (μ) : c'est une confusion très répandue, alors que le modèle montre précisément l'inverse. Autre piège : oublier que ces hypothèses (trading continu, pas de coûts, volatilité constante) sont des simplifications fortes, jamais vérifiées exactement en pratique — voir les limites du modèle abordées dans les notions suivantes.
Trois points à retenir
- 1L'équation de Black-Scholes vient d'un portefeuille de réplication delta-neutre, rendu sans risque par construction.
- 2Le prix d'une option ne dépend jamais du rendement attendu μ du sous-jacent, seulement de r et σ.
- 3Les hypothèses du modèle (vol constante, pas de friction) sont de fortes simplifications de la réalité.
Approfondir / démonstration
Les limites empiriques du modèle sont aujourd'hui bien documentées : la volatilité n'est pas constante (elle varie avec le strike — le "smile" de volatilité, voir M08 — et dans le temps), le trading n'est pas continu (coûts de transaction, discrétisation du rééquilibrage, voir le P&L du delta-hedging en M07-5), et les queues de distribution réelles des rendements sont plus épaisses que ne le prédit la loi log-normale (risque de saut, krachs). Ces limites ont donné naissance à toute une famille de modèles plus sophistiqués (volatilité locale, volatilité stochastique, modèles à sauts) qui relâchent une ou plusieurs de ces hypothèses, au prix d'une complexité mathématique et calculatoire bien supérieure.