Forwards, futures et matières premières · Essentiel · 7 min
Prix forward par non-arbitrage
Objectif: Démontrer le prix forward par non-arbitrage, avec et sans revenus ou coûts de portage.
Avant de continuer
Cette notion suppose que vous savez ce qu'est un forward et son payoff, et ce qu'est une opportunité d'arbitrage (un profit garanti sans mise de fonds ni risque).
Vocabulaire
- Cash-and-carry
- Stratégie qui consiste à acheter l'actif au comptant en empruntant l'argent, puis à le "porter" jusqu'à l'échéance du forward.
- Taux sans risque
- Le taux auquel on peut emprunter ou prêter sans risque de défaut, sur la durée considérée.
Intuition
Le prix forward n'est pas une prédiction du marché sur ce que vaudra l'actif plus tard : c'est un prix imposé mécaniquement, pour qu'il soit impossible de gagner de l'argent gratuitement en combinant le forward et le marché au comptant.
Définition
Le prix forward par non-arbitrage F0 est le seul prix qui empêche toute stratégie sans risque et sans mise de fonds de générer un profit garanti. Pour un actif qui ne verse aucun revenu pendant la vie du contrat, F0 = S0 × (1 + r)^T, où S0 est le prix spot actuel, r le taux sans risque et T la durée en années.
Utilité
Cette formule permet à n'importe qui de calculer (ou de vérifier) un prix forward sans avoir besoin de prévoir le marché : elle sert à coter des forwards, détecter des opportunités d'arbitrage, et comprendre pourquoi les prix forward et spot bougent presque toujours ensemble.
Exemple concret
Une action ne verse pas de dividende, cote S0 = 100 EUR, et le taux sans risque à 1 an est r = 5%. Le prix forward à 1 an doit être F0 = 100 × (1,05)^1 = 105 EUR. S'il cotait 110 EUR sur le marché, tout le monde aurait intérêt à l'acheter au comptant à crédit et à la vendre à terme à 110 : profit garanti de 5 EUR sans rien miser.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Deux chemins mènent au même endroit : (1) acheter le forward directement, ou (2) emprunter S0 aujourd'hui, acheter l'actif comptant, le garder jusqu'à T, puis le livrer contre K. Le chemin (2) coûte exactement S0 × (1+r)^T en remboursement du prêt. Si le forward valait autre chose que ce montant, un des deux chemins serait systématiquement moins cher que l'autre pour obtenir exactement le même actif à la même date — ce qui est impossible sur un marché sans friction : les deux chemins doivent donc coûter pareil.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Prix spot (au comptant) de l'actif aujourd'hui
- — Taux sans risque annuel (composé annuellement)
- — Durée jusqu'à l'échéance, en années
Hypothèses: L'actif ne verse aucun revenu (pas de dividende, pas de coupon) pendant la vie du contrat ; on peut emprunter et prêter au même taux sans risque r ; pas de coûts de transaction ni de contrainte d'accès au marché.
Unités: S0 et F0 dans la même devise et unité ; r en proportion annuelle (5% = 0,05) ; T en années (6 mois = 0,5).
Exemple concret: S0 = 100, r = 5%, T = 1 : F0 = 100 × 1,05^1 = 105.
Calcul détaillé
1) Relever le prix spot S0. 2) Relever le taux sans risque r pour la durée du contrat. 3) Convertir T en années. 4) Calculer (1 + r)^T. 5) Multiplier : F0 = S0 × (1 + r)^T.
Interprétation
F0 est toujours supérieur à S0 dès que r > 0 : c'est le coût de financement pour "porter" l'actif jusqu'à l'échéance, pas une prévision de hausse. Plus le taux ou la durée augmentent, plus l'écart entre F0 et S0 se creuse mécaniquement.
Pièges
Croire que F0 > S0 signifie que le marché anticipe une hausse du prix : c'est faux, c'est uniquement le coût de portage. Autre erreur : utiliser le rendement attendu de l'actif au lieu du taux sans risque — la formule de non-arbitrage n'a besoin d'aucune anticipation, seulement du taux de financement.
Trois points à retenir
- 1F0 = S0 × (1 + r)^T pour un actif sans revenu : c'est un prix imposé, pas une prévision.
- 2Si le forward coté s'écarte de F0, une stratégie cash-and-carry (ou l'inverse) dégage un profit sans risque.
- 3F0 > S0 reflète le coût de financement (portage), pas une anticipation de hausse du marché.
Approfondir / démonstration
Avec un actif versant un revenu connu (dividende, coupon) de valeur actuelle PV(revenu), le coût net de portage diminue : F0 = (S0 − PV(revenu)) × (1 + r)^T. En composition continue, la formule équivalente est F0 = S0 × e^{(r−q)T}, où q est le taux de rendement du revenu (dividend yield continu). Preuve par arbitrage complète : si F_marché > F0, on vend le forward, on emprunte S0, on achète l'actif comptant ; à l'échéance on livre l'actif contre F_marché et on rembourse S0×(1+r)^T < F_marché — profit sans risque de F_marché − F0. Si F_marché < F0, la stratégie inverse (vente à découvert de l'actif, placement du produit, achat du forward) dégage le même type de profit. C'est cette symétrie des deux arbitrages qui verrouille F0 à une valeur unique.