Obligations, taux et crédit · Essentiel · 7 min
Pricing d'une obligation
Objectif: Calculer le prix d'une obligation par actualisation des flux, avec coupon couru, clean/dirty price et rendement actuariel.
Avant de continuer
Il faut connaître la structure d'une obligation à coupons (nominal, taux de coupon, échéance).
Vocabulaire
- Rendement actuariel (YTM)
- Le taux d'actualisation unique qui égalise la somme des flux futurs actualisés au prix observé aujourd'hui.
- Coupon couru
- La part du prochain coupon déjà "gagnée" par le vendeur depuis le dernier paiement, due par l'acheteur en plus du prix coté.
Intuition
Le prix d'une obligation n'est rien d'autre que la somme de tous ses paiements futurs, ramenés à leur valeur d'aujourd'hui : plus un euro futur est lointain ou incertain, moins il vaut aujourd'hui.
Définition
Le prix d'une obligation est la somme actualisée de tous ses coupons futurs et de son remboursement final, au taux de rendement actuariel y exigé par le marché. Le "clean price" (prix coté) exclut le coupon couru depuis le dernier paiement ; le "dirty price" (prix effectivement payé à l'achat) l'inclut : Dirty = Clean + Coupon couru.
Utilité
C'est le calcul de base de toute salle de marché obligataire : il permet de coter une obligation, de comparer des obligations entre elles via leur rendement, et de comprendre comment le prix réagit à une variation des taux.
Exemple concret
Obligation nominal 1 000 EUR, coupon annuel 4% (40 EUR/an), maturité 3 ans, rendement exigé y = 5%. Prix = 40/1,05 + 40/1,05² + (40+1 000)/1,05³ = 38,10 + 36,28 + 898,90 ≈ 973,28 EUR : elle se négocie en dessous du nominal car le marché exige plus (5%) que le coupon offert (4%).
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Voyez chaque coupon et le remboursement final comme des billets de train achetés séparément, chacun avec sa propre "réduction" pour le temps d'attente : plus le billet est loin dans le futur, plus la réduction (l'actualisation) est forte. Le prix total de l'obligation est juste la facture globale de tous ces billets.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Coupon périodique (taux de coupon × valeur nominale)
- — Valeur nominale remboursée à l'échéance
- — Rendement actuariel exigé par le marché (YTM)
- — Nombre de périodes jusqu'à l'échéance
Hypothèses: Coupons versés à intervalles réguliers ; pas de risque de défaut pris en compte séparément (il est déjà reflété dans y) ; on se place juste après un paiement de coupon (clean = dirty).
Unités: P, C et F dans la même devise ; y en proportion par période.
Exemple concret: C=40, F=1000, y=5%, N=3 : P ≈ 973,28.
Calcul détaillé
1) Lister chaque coupon C aux dates 1 à N, plus F à la date N. 2) Actualiser chaque flux : flux_t / (1+y)^t. 3) Sommer tous les flux actualisés. 4) Comparer au nominal : P < F si y > taux de coupon (décote), P > F si y < taux de coupon (prime), P = F si y = taux de coupon (au pair).
Interprétation
Le prix et le rendement varient toujours en sens opposé : si le marché exige un rendement plus élevé (les taux montent), le prix baisse mécaniquement, et inversement. C'est la relation fondamentale de toute la gestion obligataire.
Pièges
Confondre taux de coupon (fixe, inscrit dans le contrat) et rendement actuariel (variable, dépend du prix de marché) : une obligation à coupon 4% peut très bien avoir un rendement de 6% si son prix a baissé. Autre piège : oublier le coupon couru en comparant deux prix cotés entre deux dates de paiement différentes.
Trois points à retenir
- 1P = somme des coupons actualisés + nominal actualisé, au taux y exigé par le marché.
- 2P < F (décote) si y > coupon ; P > F (prime) si y < coupon ; P = F (pair) si y = coupon.
- 3Dirty price = Clean price + coupon couru ; c'est le dirty price qui est réellement payé.
Approfondir / démonstration
En réalité chaque flux devrait être actualisé à son propre taux spot z_t issu de la courbe des taux (voir M03-7), et non à un taux unique y : le YTM est une moyenne pondérée implicite qui n'est exacte que si la courbe est plate. Le coupon couru se calcule proportionnellement au temps écoulé depuis le dernier paiement : Coupon couru = C × (jours écoulés / jours de la période), en convention Actual/365 ou 30/360 selon le marché. La sensibilité du prix à y n'est pas linéaire : elle décroît (en valeur absolue de la pente) quand y augmente, un phénomène appelé convexité (voir M03-4), que la seule dérivée première (la duration, M03-3) ne capture pas complètement.