Obligations, taux et crédit · Essentiel · 7 min
Convexité
Objectif: Calculer la convexité et l'utiliser pour approximer la relation prix-taux.
Avant de continuer
Cette notion prolonge directement la duration modifiée : assurez-vous de savoir ce qu'elle mesure et comment l'utiliser pour approximer une variation de prix.
Vocabulaire
- Approximation du premier ordre
- Une estimation basée uniquement sur la pente (dérivée première) — ici, la duration — qui devient imprécise pour de grandes variations.
Intuition
La relation prix-taux d'une obligation n'est pas une droite, c'est une courbe légèrement incurvée vers le haut. La duration seule trace une droite tangente à cette courbe ; la convexité corrige cette approximation pour les variations de taux plus importantes.
Définition
La convexité mesure la courbure de la relation prix-taux : c'est la dérivée seconde du prix par rapport au rendement, normalisée par le prix. Combinée à la duration modifiée, elle permet une meilleure approximation de la variation de prix : ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + ½ × Convexité × Δy².
Utilité
Pour des variations de taux importantes (crise, choc de politique monétaire), l'approximation par la seule duration devient trop imprécise : la convexité affine l'estimation et explique pourquoi une obligation convexe protège mieux en cas de hausse des taux qu'elle ne pénalise en cas de baisse.
Exemple concret
Obligation : P0 = 973,28 EUR, D_mod = 2,79, Convexité = 9,6. Les taux montent de 200 points de base (Δy = +0,02). Approximation par duration seule : ΔP/P ≈ −2,79 × 0,02 = −5,58%. Avec la convexité : ΔP/P ≈ −5,58% + ½ × 9,6 × 0,02² = −5,58% + 0,19% = −5,39% : la perte réelle est un peu moins sévère que ce que prédit la duration seule.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Imaginez conduire sur une route qui tourne légèrement. La duration, c'est rouler tout droit dans la direction où pointe le volant à l'instant présent — correct sur une courte distance. La convexité, c'est le fait que la route tourne réellement : plus vous avancez (plus Δy est grand), plus l'écart entre la ligne droite et la vraie route se creuse, et cet écart joue toujours en faveur du porteur obligataire (le prix baisse moins qu'attendu en cas de hausse des taux, et monte plus qu'attendu en cas de baisse).
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Convexité de l'obligation = (1/P) × d²P/dy² : mesure la courbure de la relation prix-taux à partir des flux CF_t
- — Montant et date de chaque flux (coupon ou remboursement)
- — Prix de l'obligation
- — Duration modifiée de l'obligation
- — Variation du rendement (en proportion, ex. +0,02 pour +200 pb)
Hypothèses: Développement de Taylor au second ordre ; suppose un déplacement parallèle et instantané de la courbe des taux.
Unités: ΔP/P en proportion (multiplier par 100 pour un pourcentage) ; Δy en proportion (200 pb = 0,02).
Exemple concret: D_mod=2,79, C=9,6, Δy=0,02 : ΔP/P ≈ −5,58% + 0,19% = −5,39%.
Calcul détaillé
1) Calculer le terme de duration : −D_mod × Δy. 2) Calculer le terme de convexité : ½ × C × Δy². 3) Additionner les deux termes pour obtenir ΔP/P. 4) Multiplier par P0 pour obtenir la variation de prix en valeur, puis par 100 pour un pourcentage.
Interprétation
Le terme de convexité est toujours positif (car Δy² ≥ 0 et C > 0 pour une obligation classique) : il adoucit systématiquement les pertes en cas de hausse des taux et amplifie systématiquement les gains en cas de baisse. Plus une obligation est convexe, plus cet effet protecteur est marqué — une qualité recherchée, toutes choses égales par ailleurs.
Pièges
Oublier le facteur ½ devant la convexité dans la formule. Autre piège fréquent : croire que la convexité peut être négative pour une obligation classique sans option intégrée (call/put) — ce n'est le cas que pour des instruments particuliers comme les obligations remboursables par anticipation (callable).
Trois points à retenir
- 1La convexité corrige l'approximation par duration seule, surtout utile pour de grandes variations de taux.
- 2ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + ½ × C × Δy² : le terme de convexité est toujours favorable au porteur.
- 3Plus une obligation est convexe, mieux elle protège en cas de hausse des taux et profite en cas de baisse.
Approfondir / démonstration
Formellement, la convexité est C = (1/P) × d²P/dy², qui se calcule à partir des flux comme C = (1/P) × Σ [CF_t × t × (t+1)] / (1+y)^(t+2). Pour un nominal fixe, la convexité augmente avec la maturité et diminue avec le taux de coupon (une obligation zéro-coupon a la convexité la plus élevée à maturité donnée, car tout le flux est concentré loin dans le temps). Cette propriété motive des stratégies de gestion obligataire qui "achètent de la convexité" (barbell : combiner des obligations courtes et longues plutôt qu'une seule obligation intermédiaire) pour un même niveau de duration, dans le seul but de profiter de ce terme quadratique toujours favorable.