Mouvement brownien et Black-Scholes · Essentiel · 8 min
Prérequis : Itô, absence d'arbitrage, mesure risque-neutre
Objectif: Relier probabilités, dérivées, lemme d'Itô, absence d'arbitrage et mesure risque-neutre.
Avant de continuer
Il faut connaître le brownien géométrique et la formule de dérivée d'une fonction composée du calcul classique.
Vocabulaire
- Martingale
- Un processus dont la meilleure prévision de la valeur future, sachant le présent, est exactement la valeur actuelle — "pas de tendance prévisible".
- Mesure risque-neutre
- Une probabilité fictive sous laquelle tous les actifs actualisés au taux sans risque sont des martingales, utilisée pour pricer sans avoir besoin de connaître le vrai rendement attendu des investisseurs.
Intuition
En calcul classique, une petite variation dx au carré est négligeable. En calcul stochastique, ce n'est plus vrai : (dW_t)² se comporte comme dt, pas comme zéro — cette différence, en apparence minime, change toute la façon de dériver une fonction d'un processus aléatoire.
Définition
Le lemme d'Itô donne la différentielle d'une fonction f(t, X_t) d'un processus X_t vérifiant dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t : df = (∂f/∂t + μ_t ∂f/∂x + ½σ_t² ∂²f/∂x²) dt + σ_t ∂f/∂x dW_t. Le terme en ½σ_t²∂²f/∂x² est le terme additionnel, absent du calcul classique, qui vient de la règle (dW_t)² = dt.
Utilité
Le lemme d'Itô est l'outil qui permet de dériver la dynamique de n'importe quelle fonction d'un actif suivant un brownien géométrique — c'est ainsi qu'on obtient l'équation de Black-Scholes (M06-4) en appliquant Itô au prix d'une option, vu comme une fonction du sous-jacent et du temps.
Exemple concret
Pour f(S) = ln(S), avec S suivant un brownien géométrique dS = μS dt + σS dW : ∂f/∂S = 1/S, ∂²f/∂S² = −1/S². Le lemme d'Itô donne d(ln S) = (μ − σ²/2) dt + σ dW — c'est exactement la correction d'Itô rencontrée en M06-2, maintenant justifiée formellement.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Pensez à un développement de Taylor classique : df ≈ (∂f/∂t)dt + (∂f/∂x)dx + ½(∂²f/∂x²)(dx)². En calcul classique, on ignore (dx)² car il est "infiniment plus petit" que dx ou dt. En calcul stochastique, (dW_t)² n'est PAS négligeable devant dt — les deux sont du même ordre de grandeur — donc ce terme survit et doit être gardé. Le lemme d'Itô n'est rien d'autre qu'un développement de Taylor qui garde ce terme habituellement jeté à la poubelle.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Sensibilité de f au temps qui passe (toutes choses égales par ailleurs)
- — Dérivées première et seconde de f par rapport au processus sous-jacent
Hypothèses: f doit être deux fois différentiable en x et une fois en t ; X_t suit une diffusion dX_t = μdt + σdW_t.
Unités: Dépend de la fonction f considérée.
Exemple concret: f(S)=ln(S) : df = (μ−σ²/2)dt + σdW_t (voir exemple ci-dessus).
Calcul détaillé
1) Identifier la fonction f(t,X_t) dont on cherche la dynamique. 2) Calculer ses dérivées partielles ∂f/∂t, ∂f/∂x, ∂²f/∂x². 3) Identifier μ et σ de la diffusion suivie par X_t. 4) Assembler selon la formule d'Itô : terme en dt = ∂f/∂t + μ∂f/∂x + ½σ²∂²f/∂x², terme en dW_t = σ∂f/∂x.
Interprétation
Le terme ½σ²∂²f/∂x² capture l'effet de la convexité de f sur son espérance : même si X_t n'a pas de tendance (μ=0), une fonction f convexe de X_t (∂²f/∂x²>0) a tendance à croître en moyenne, purement à cause de la variance — un lien direct avec la convexité obligataire (M03-4) et le Gamma des options (M07-1).
Pièges
Oublier le terme en ½σ²∂²f/∂x² et appliquer la règle de dérivation classique : c'est l'erreur la plus fondamentale du calcul stochastique. Autre piège : appliquer le lemme d'Itô à une fonction non deux-fois-différentiable, ou oublier que le résultat dépend explicitement de σ, pas seulement de μ.
Trois points à retenir
- 1Règle clé : (dW_t)² = dt (pas 0 comme en calcul classique) — la source de tout le lemme d'Itô.
- 2df garde un terme additionnel ½σ²∂²f/∂x² par rapport à la dérivation classique.
- 3La mesure risque-neutre permet de pricer en remplaçant le vrai drift μ par le taux sans risque r.
Approfondir / démonstration
Le théorème de Girsanov justifie formellement le changement de mesure risque-neutre : il montre qu'on peut changer la probabilité sous-jacente (de la mesure réelle P à une mesure risque-neutre Q) de façon à transformer un brownien avec dérive en un brownien standard sans dérive, ce qui revient à remplacer μ par r dans toutes les formules de pricing — sans changer la volatilité σ, qui elle reste identique sous les deux mesures. C'est ce théorème qui justifie rigoureusement pourquoi le pricing par absence d'arbitrage (M01-4) ne dépend jamais du rendement attendu réel d'un actif, seulement de sa volatilité et du taux sans risque — une simplification remarquable exploitée par Black et Scholes.