Options barrières et digitales · Essentiel · 6 min
Barrier parity / in-out parity
Objectif: Définir la barrier parity (in-out parity) et ses hypothèses nécessaires.
Avant de continuer
Il faut connaître les mécanismes knock-in/knock-out et la parité call-put.
Vocabulaire
- In-out parity
- Un autre nom pour la barrier parity, insistant sur la complémentarité entre la version "in" et la version "out" du même contrat.
Intuition
À tout instant, le sous-jacent est soit dans l'état "a touché la barrière", soit dans l'état "ne l'a pas touchée" — ces deux états sont exhaustifs et mutuellement exclusifs. Détenir simultanément la version knock-in ET la version knock-out d'une même option revient donc exactement à détenir l'option vanille correspondante, quel que soit le scénario.
Définition
La barrier parity (ou in-out parity) énonce que, pour une même barrière H, un même strike K et une même échéance T (et en l'absence de rebate) : Option knock-in + Option knock-out (même type call/put, même sens up/down) = Option vanille correspondante.
Utilité
Cette relation permet de pricer et de vérifier n'importe quelle option knock-in à partir de son knock-out correspondant (ou inversement), simplement en connaissant le prix de l'option vanille — un outil de vérification et de réplication indispensable pour tout desk exotique.
Exemple concret
Un call vanille K=100 vaut 9,50. Un call down-and-out (DO), barrière H=80, vaut 8,20 (il vaut presque autant que le vanille, car la barrière est loin). Par la parité, le call down-and-in (DI) correspondant vaut 9,50−8,20 = 1,30 — une valeur faible, cohérente avec le fait qu'il ne s'active que dans un scénario de forte baisse suivie d'une remontée, un scénario peu probable ici.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Imaginez diviser un jeu de cartes complet en deux tas selon un critère (par exemple, cartes rouges vs cartes noires) : posséder les deux tas revient exactement à posséder le jeu complet, quel que soit le critère de partage choisi. La barrier parity fait la même chose avec les scénarios de marché : "a touché H" et "n'a pas touché H" partitionnent complètement l'univers des possibles, donc knock-in + knock-out = le jeu complet (l'option vanille).
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Prix du call vanille de même strike et échéance
- — Prix du call down-and-in et du call down-and-out, même barrière H
Hypothèses: Aucun rebate sur les deux contrats barrière ; même strike, échéance, barrière et sens (up/down) partagés par les trois contrats.
Unités: Prix dans la devise du sous-jacent.
Exemple concret: C_vanille=9,50, C_DO=8,20 : C_DI = 9,50−8,20 = 1,30.
Calcul détaillé
1) Identifier le prix de l'option vanille correspondante (même strike, échéance, type call/put). 2) Identifier le prix de l'un des deux contrats barrière (in ou out) déjà connu. 3) Soustraire ce prix connu du prix vanille pour obtenir le prix du contrat barrière manquant. 4) Vérifier la cohérence : les deux prix barrière doivent être positifs et leur somme égale exactement le vanille.
Interprétation
Cette parité est une identité d'arbitrage exacte (comme la parité call-put, M05-3), valable indépendamment du modèle de pricing utilisé — elle doit être vérifiée par TOUT modèle cohérent, du plus simple au plus sophistiqué, ce qui en fait un test de cohérence précieux pour valider un système de pricing exotique.
Pièges
Appliquer la parité entre des contrats de barrières ou de sens (up/down) différents : elle ne fonctionne QUE si les deux contrats barrière partagent exactement la même barrière, le même strike, la même échéance et le même sens. Autre piège : oublier l'ajustement nécessaire si l'un des deux contrats prévoit un rebate non nul, qui doit être retranché avant d'appliquer la parité "pure".
Trois points à retenir
- 1Knock-in + Knock-out (mêmes caractéristiques, sans rebate) = Option vanille correspondante.
- 2C'est une identité d'arbitrage exacte, indépendante du modèle de pricing utilisé.
- 3Elle sert de test de cohérence et permet de déduire le prix d'un contrat à partir de l'autre et du vanille.
Approfondir / démonstration
En présence d'un rebate R_in (versé au knock-in si la barrière est touchée, remboursé immédiatement ou à l'échéance selon convention) et R_out (versé au knock-out), la parité s'ajuste en tenant compte de la valeur actualisée de ces rebates : C_vanille = C_DI + C_DO − PV(R_in) − PV(R_out) si les deux rebates sont positifs et payés en cas de déclenchement (les signes exacts dépendent de la convention contractuelle précise). Cette généralisation est essentielle en pratique, car de nombreux contrats structurés incluent effectivement un rebate non nul pour adoucir le risque de knock-out pour l'investisseur final.