Volatilité et variance · Essentiel · 6 min
Volatilité réalisée
Objectif: Calculer la volatilité réalisée : rendements simples/logarithmiques, fréquence, annualisation.
Avant de continuer
Il faut connaître le rendement logarithmique d'un actif et l'idée d'écart-type.
Vocabulaire
- Rendement logarithmique
- r_t = ln(S_t/S_{t-1}), la variation en pourcentage du prix, mesurée sur une échelle logarithmique.
- Annualisation
- La conversion d'une volatilité mesurée sur une fréquence donnée (jour, semaine) en équivalent annuel, en multipliant par la racine du nombre de périodes par an.
Intuition
La volatilité réalisée mesure, a posteriori, à quel point un actif a effectivement bougé : ce n'est pas une prévision, c'est un simple calcul statistique sur des prix déjà observés.
Définition
La volatilité réalisée est l'écart-type des rendements logarithmiques observés sur une période, annualisé en multipliant par la racine carrée du nombre de périodes par an (√252 pour des données journalières, en supposant 252 jours de bourse par an).
Utilité
C'est la mesure de référence pour comparer ce qu'un actif a réellement fait à ce que le marché anticipait (la volatilité implicite, M08-2) — le point de départ de toute analyse de performance d'une stratégie vendeuse ou acheteuse d'options (voir le P&L de delta-hedging, M07-5).
Exemple concret
Sur 5 jours, les rendements logarithmiques journaliers sont 1%, −0,5%, 0,8%, −1,2%, 0,3%. L'écart-type de cette série (environ 0,88%) est multiplié par √252 ≈ 15,87 pour obtenir une volatilité annualisée d'environ 14%.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Imaginez mesurer à quel point un marcheur zigzague sur un trottoir en observant ses pas des derniers jours (pas une prédiction de ses futurs pas) : la volatilité réalisée est cette mesure rétrospective de l'amplitude du zigzag, extrapolée à l'échelle d'une année entière pour être comparable d'un actif à l'autre.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Rendement logarithmique de la période i
- — Rendement logarithmique moyen sur l'échantillon
- — Nombre d'observations
Hypothèses: 252 jours de bourse par an (convention usuelle) ; en pratique r̄ est souvent négligé (supposé ≈0) pour des données journalières à court terme.
Unités: Proportion annuelle, souvent exprimée en %.
Exemple concret: Écart-type journalier ≈0,88%, ×√252 ≈ 14%.
Calcul détaillé
1) Calculer les rendements logarithmiques r_i = ln(S_i/S_{i-1}) sur la période observée. 2) Calculer leur moyenne r̄ (souvent approximée à 0). 3) Calculer l'écart-type de ces rendements. 4) Multiplier par la racine carrée du nombre de périodes par an pour annualiser.
Interprétation
La volatilité réalisée dépend fortement de la fenêtre d'observation choisie (10 jours, 1 mois, 1 an) et de la fréquence des données (journalière, horaire) : deux calculs "corrects" mais sur des fenêtres différentes peuvent donner des résultats très différents, ce qui rend la comparaison entre sources toujours sensible au choix méthodologique.
Pièges
Utiliser des rendements simples (S_t/S_{t-1} − 1) au lieu de rendements logarithmiques : les deux convergent pour de petites variations, mais diffèrent pour de grands mouvements, et seuls les rendements log s'additionnent proprement dans le temps. Autre piège : oublier d'annualiser, ou annualiser avec le mauvais facteur (252 jours, 52 semaines, 12 mois selon la fréquence des données).
Trois points à retenir
- 1Volatilité réalisée = écart-type des rendements logarithmiques observés, annualisé par √(périodes/an).
- 2C'est une mesure rétrospective (a posteriori), pas une prévision.
- 3Le résultat dépend fortement de la fenêtre d'observation et de la fréquence des données choisies.
Approfondir / démonstration
Des estimateurs plus sophistiqués que le simple écart-type des clôtures journalières exploitent l'information intra-journalière disponible (ranges haut/bas/ouverture/clôture) pour réduire le bruit d'estimation à nombre d'observations égal : l'estimateur de Parkinson (utilisant le range haut-bas), celui de Garman-Klass (combinant ouverture/haut/bas/clôture), ou celui de Yang-Zhang (qui gère aussi les sauts d'ouverture entre séances) sont statistiquement plus efficaces que l'estimateur "close-to-close" présenté ici, un enjeu important pour l'estimation de volatilité sur de courtes fenêtres où le bruit d'échantillonnage domine.