Obligations, taux et crédit · Essentiel · 5 min
Taux sans risque, spot et forward
Objectif: Choisir un proxy de taux sans risque et distinguer taux spot, taux forward et conventions de courbe.
Avant de continuer
Cette notion suppose que vous savez actualiser un flux et ce qu'est un rendement actuariel.
Vocabulaire
- Taux spot
- Le taux d'actualisation applicable à un flux unique reçu à une date précise, tel qu'il ressort aujourd'hui de la courbe des taux.
- Taux forward
- Le taux d'intérêt fixé aujourd'hui pour un prêt qui commencera à une date future et se terminera à une date encore plus lointaine.
Intuition
"Le" taux sans risque n'existe pas vraiment : c'est un proxy qu'on choisit, et il change de forme selon qu'on regarde 3 mois ou 10 ans devant soi (la courbe des taux) — ou selon qu'on parle d'un taux "à partir d'aujourd'hui" ou d'un taux "entre deux dates futures".
Définition
Le taux sans risque est approximé en pratique par un taux de marché jugé quasi sans risque de défaut (dette d'État jugée très sûre, ou de plus en plus des taux au jour le jour garantis comme SOFR/€STR, remplaçant progressivement le LIBOR). Le taux spot z_T est le taux applicable à un unique flux reçu en T ; le taux forward f_{T1,T2} est le taux, fixé aujourd'hui, applicable à un prêt hypothétique entre T1 et T2, dérivé par non-arbitrage des taux spot.
Utilité
Choisir le bon proxy de taux sans risque est la première étape de tout pricing (actualisation, produits dérivés) ; distinguer spot et forward est indispensable pour construire une courbe des taux et pricer des produits qui dépendent de taux futurs (FRA, swaps — voir M04).
Exemple concret
Le taux spot à 1 an est z1 = 3%, le taux spot à 2 ans est z2 = 4%. Le taux forward implicite entre l'année 1 et l'année 2 se déduit par non-arbitrage : (1+z2)² = (1+z1) × (1+f_{1,2}), donc f_{1,2} = 1,04²/1,03 − 1 ≈ 5,02%. Ce forward est plus élevé que z2 car la courbe est croissante (les taux courts sont plus bas que les taux longs).
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Voyez le taux forward comme un "relais" : emprunter à 2 ans directement (au taux z2 composé sur 2 ans) doit revenir exactement au même que emprunter à 1 an (au taux z1), puis reconduire cet emprunt pour la 2e année à un taux fixé aujourd'hui (f_{1,2}). Si ce n'était pas le cas, on pourrait arbitrer en choisissant systématiquement le chemin le moins cher.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Taux spot à 1 an et à 2 ans
- — Taux forward implicite entre l'année 1 et l'année 2
Hypothèses: Absence d'arbitrage ; taux composés annuellement ; pas de prime de liquidité distincte entre les deux stratégies.
Unités: Taux en proportion annuelle.
Exemple concret: z1=3%, z2=4% : f_{1,2} = 1,04²/1,03 − 1 ≈ 5,02%.
Calcul détaillé
1) Relever les taux spot z1 et z2 sur la courbe. 2) Calculer (1+z2)² et (1+z1). 3) Diviser : (1+z2)²/(1+z1). 4) Soustraire 1 pour obtenir f_{1,2}.
Interprétation
Quand la courbe des taux est croissante (cas normal), les taux forward implicites sont supérieurs aux taux spot correspondants ; quand elle est inversée (souvent signe redouté de récession), c'est l'inverse. Le taux forward n'est pas nécessairement une bonne prédiction du futur taux spot : c'est avant tout un résultat mécanique de non-arbitrage.
Pièges
Utiliser le même taux (souvent le taux "sans risque" le plus long ou le plus connu) pour actualiser tous les flux, quelle que soit leur date : chaque flux devrait être actualisé à son propre taux spot. Autre piège : croire que le taux forward est une prévision du marché — voir la même confusion pour les prix forward de matières premières (M02-7).
Trois points à retenir
- 1Le taux sans risque est un proxy choisi (dette d'État très sûre, ou taux garanti au jour le jour type SOFR/€STR).
- 2Taux spot = taux pour un flux unique aujourd'hui-à-T ; taux forward = taux fixé aujourd'hui pour une période future.
- 3(1+z2)² = (1+z1)(1+f_{1,2}) : le forward se déduit des spot par non-arbitrage, ce n'est pas une prévision.
Approfondir / démonstration
La transition du LIBOR (taux déclaratif, basé sur des estimations de banques, entaché de scandales de manipulation) vers des taux garantis au jour le jour (RFR : SOFR aux USA, €STR en zone euro, SONIA au UK) reflète une volonté de fonder le taux sans risque sur des transactions réelles plutôt que des déclarations. Ces RFR sont "overnight" par nature, ce qui complique la construction de taux à terme composés ("term rates") ou de conventions de capitalisation "in arrears" (composée sur la période échue, connue seulement à la fin) — un changement de convention qui a nécessité une refonte massive des systèmes de pricing de produits de taux dans les années suivant 2021.