Options vanilles et stratégies · Essentiel · 7 min
Parité call-put
Objectif: Démontrer la parité call-put, ses hypothèses et son ajustement en présence de dividendes.
Avant de continuer
Il faut connaître le payoff d'un call et d'un put, et l'idée d'actualisation à taux sans risque.
Vocabulaire
- Portefeuille de réplication
- Une combinaison d'instruments qui reproduit exactement le payoff d'un autre instrument, ce qui force les deux à avoir le même prix.
Intuition
Un call et un put sur le même sous-jacent et le même strike ne sont pas indépendants : leurs prix sont liés par une relation d'arbitrage stricte, parce que deux façons différentes de combiner call, put et sous-jacent peuvent reproduire exactement le même résultat final.
Définition
La parité call-put énonce que, pour des options européennes de même strike K et même échéance T sur un actif sans dividende : C − P = S0 − K × (1+r)^(−T), où C et P sont les primes du call et du put, S0 le prix spot, et r le taux sans risque.
Utilité
Cette relation permet de déduire le prix d'un put à partir de celui d'un call coté (ou inversement), de construire des positions synthétiques (ex. un call synthétique = put + sous-jacent), et de détecter immédiatement une opportunité d'arbitrage si les prix cotés s'en écartent.
Exemple concret
S0 = 100, K = 100, r = 3%, T = 1 an, C = 8. Par la parité : P = C − S0 + K×(1+r)^(−T) = 8 − 100 + 100/1,03 ≈ 8 − 100 + 97,09 = 5,09. Si le put coté valait 7 au lieu de 5,09, il serait surévalué et une stratégie d'arbitrage serait possible.
Toujours bloqué ? Une autre façon de voir les choses
Comparez deux façons d'être exposé à "détenir l'action à l'échéance, peu importe son prix" : (1) acheter un call ET placer K actualisé en obligation sans risque (on finira avec l'action si elle vaut plus que K, sinon avec du cash), ou (2) acheter l'action ET un put (on garde l'action si elle monte, on est protégé par le put si elle chute). Ces deux combinaisons produisent exactement le même résultat final quel que soit le prix futur de l'action — elles doivent donc coûter pareil aujourd'hui.
Formule indispensable
Variables, unités et hypothèses
- — Primes du call et du put européens, même strike K, même échéance T
- — Prix spot actuel du sous-jacent
- — Valeur actualisée du strike au taux sans risque
Hypothèses: Options européennes uniquement ; actif ne versant aucun dividende pendant la vie des options ; pas de coûts de transaction.
Unités: Toutes les valeurs dans la même devise.
Exemple concret: S0=100, K=100, r=3%, T=1 : C−P = 100 − 100/1,03 ≈ 2,91.
Calcul détaillé
1) Identifier C ou P (celui coté sur le marché), S0, K, r et T. 2) Calculer la valeur actualisée du strike : K × (1+r)^(−T). 3) Réarranger la formule pour isoler l'inconnue : P = C − S0 + K(1+r)^(−T), ou C = P + S0 − K(1+r)^(−T). 4) Comparer au prix réellement coté pour détecter un éventuel écart d'arbitrage.
Interprétation
Cette relation ne dit rien sur la direction future du marché : c'est une contrainte d'arbitrage pure entre deux instruments cotés au même instant. Un call vaut structurellement plus qu'un put de même strike dès que S0 dépasse la valeur actualisée de K, et inversement.
Pièges
Appliquer la formule telle quelle à une option américaine : la parité stricte ne vaut que pour les options européennes, car la possibilité d'exercice anticipé casse l'argument de réplication. Autre piège : oublier d'ajuster la formule en présence de dividendes (voir démonstration avancée).
Trois points à retenir
- 1C − P = S0 − K(1+r)^(−T) pour des options européennes de même strike et échéance.
- 2Cette relation vient d'un argument de réplication (portefeuille équivalent), pas d'une vue de marché.
- 3Elle ne s'applique pas telle quelle aux options américaines ni sans ajustement en présence de dividendes.
Approfondir / démonstration
En présence d'un dividende connu de valeur actuelle PV(div) versé pendant la vie de l'option, la parité devient C − P = S0 − PV(div) − K(1+r)^(−T) : le dividende réduit la valeur du call (il n'en bénéficie pas) et augmente relativement celle du put. Preuve par arbitrage : si C − P > S0 − K(1+r)^(−T), on vend le call, on achète le put et on achète l'action (financée par emprunt) ; le portefeuille combiné dégage un profit sans risque quelle que soit l'évolution de S. Cette démonstration ne suppose absolument rien sur la loi de probabilité suivie par S — c'est ce qui rend la parité valable même sous des hypothèses de modèle très différentes (Black-Scholes, volatilité stochastique, etc.), contrairement aux formules de pricing elles-mêmes qui, elles, dépendent fortement du modèle choisi.